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Kein bestimmter Bereich J ** Grenzwertig II
Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-31


Ein weiteres hoffentlich kniffliges Grenzwertproblem:

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n \cdot k^n}{(k-1)^n}\cdot\left( \sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n}-k\right)$$
$\displaystyle k$ ist dabei eine natürliche Zahl größer 1.

Lösungen bitte nur mit Rechenweg und per PN. Viel Freude!

Grüße Squire




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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-02


Dankeschön und Gratulation an Wauzi für die korrekte Lösung.
Weitere Einsendungen sind willkommen.

Grüße Squire



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-04


MontyPythagoras hat dafür gesorgt, dass Wauzi sich nicht einsam fühlen muss. Danke! Wer am Wochenende tüfteln möchte, sei hiermit herzlich dazu eingeladen.

Grüße Squire



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-07


Über das Wochenende hat sich wrdlprmpfd auf dem Treppchen/Stockerl dazugesellt. Gratulation! Ich lasse das Rätsel noch einige Tage für Spätentschlossene stehen und löse dann auf.

Grüße Squire



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-14


Hier meine Lösung:


Wir verwenden die Identität $a^n-b^n=(a-b)\cdot\sum_{m=0}^{n-1}a^mb^{n-m-1}$ und setzen $a=\sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n}$ und $b=k$:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n \cdot k^n}{(k-1)^n}\cdot\left( \sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n}-k\right)=\lim_{n \to \infty}\frac{n \cdot k^n}{(k-1)^n}\cdot\frac{1^n+2^n+...+(k-1)^n+k^n-k^n}{\sum_{m=0}^{n-1}(\sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n})^mk^{n-m-1}}=$

$\displaystyle =k\cdot\lim_{n \to \infty}\frac{1^n+2^n+...+(k-1)^n}{(k-1)^n}\cdot\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sum_{m=0}^{n-1}(\frac{\sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n}}{k})^m}$

(a) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1^n+2^n+...+(k-1)^n}{(k-1)^n}=0+0+0+...+1=1$

(b) Obere Schanke:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sum_{m=0}^{n-1}(\frac{\sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n}}{k})^m}\leq\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sum_{m=0}^{n-1}(\frac{\sqrt[n]{k^n}}{k})^m}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sum_{m=0}^{n-1}1^m}=1$

Untere Schranke:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sum_{m=0}^{n-1}(\frac{\sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n}}{k})^m}\geq\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sum_{m=0}^{n-1}(\frac{\sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n}}{k})^{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(\frac{1}{k})^n+(\frac{2}{k})^n+...+(\frac{k}{k})^n}=$

$\displaystyle=\frac{1}{0+0+0+...+1}=1$

(c) Daher:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n \cdot k^n}{(k-1)^n}\cdot\left( \sqrt[n]{1^n+2^n+...+k^n}-k\right)=k$




Nochmal vielen Dank fürs Mitmachen!

Alternative Lösungsansätze ab sofort willkommen!

Grüße Squire




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Wauzi
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-15


2020-09-14 10:20 - Squire in Beitrag No. 4 schreibt:

Alternative Lösungsansätze ab sofort willkommen!


Dann mal meiner:
fed-Code einblenden
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Squire hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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