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Mathematik » Topologie » Warum weiß die (Ko-)Homologie etwas von der Geometrie?
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Universität/Hochschule Warum weiß die (Ko-)Homologie etwas von der Geometrie?
Saki17 Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-09-04

Hallo,

die Frage habe ich im Titel gestellt. Ich bin bewusst dass die Frage sehr vage ist - ich interessiere mich also eher für die konzeptionellen Ideen...

Als erstes Beispiel denke ich an die Klassifikation kompakter zusammenhängender (2-dim.) Flächen via Euler-Charakteristik (welche sich als alternierende Summe von den Rängen der geeigneten Homologiegruppen beschreiben lässt).

Anderes Beispiel wäre die (Serres) Schnittzahl/Schnittformel (Schnitttheorie der Varietäten).



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-04

Die Frage solltest du überarbeiten und präzisieren. Welche Homologietheorie meinst du genau? Und welche geometrische Objekte betrachtest du? Die singuläre Homologie ist durch geometrische Objekte definiert (Abbildungen von Simplizes in den Raum), also ist es kein Wunder, dass sie eine geometrische Aussage hat. Hast du dir das Buch Algebraic Topology von Hatcher angesehen?



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-07

Da mich die Frage auch sehr interessiert und ich damals eine ähnliche Frage hatte zur Homologie stelle ich sie mal hier:

Warum beschreibt die Homologie eines topologischen Raumes die Anzahl der "Löcher". Wenn ich mich nicht irre wird die Anzahl der Löcher eines topologischen Raumes durch den Rang der ersten Homologiegruppe (über \(\mathbb{Z}\)) geteilt durch 2 definiert. Warum sollte das aber mit der Anschauung von solchen topologischen Räumen immer zusammenfallen?
Oder stimmt der Rang geteilt durch 2 mit den Löchern bei einem Torus mit \(n\) Löchern überein und man wählt dann einfach den Rang für allgemein topologische Räume?



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Theodore_97 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-08

Du sprichst von der singulären Homologie. Anhand derer Definition siehst du, dass sie mit "Löchern" zu tun haben, da du Zyklen modulo Ränder (cycle modulo boundary) rechnest. Ein $k$-Zyklus ist im Grunde ein anschaulich "$k$-dimensionales" geschlossenes Objekt und ein $k$-Rand ist der anschauliche Rand eines "$k+1$-dimensionalen" geschlossenen Objektes. Die 0-te Homologiegruppe eines Raumes $X$ beschreibt seine Wegzusammenhangskomponenten (WZHK). Die folgenden Beschreibungen sind (lückenhafte) Vereinfachungen des Sachverhaltes und dienen nur zur anschaulichen Erklärung/Intuition. Also ein 0-Zyklus ist im Grunde durch endlich viele Punkte auf $X$ gegeben, und ein 0-Rand ist durch endlich viele Punkte auf $X$ gegeben, die der Rand von Strecken auf $X$ sind (der Rand einer Strecke sind seine beiden Endpunkte). Jetzt sieht man natürlich, dass man zwei Punkte auf einer gemeinsamen Wegzusammenhangskomponenten per Definition durch eine Strecke verbinden kann, also sind diese zwei Punkte der Rand einer Strecke. Auf einer einzigen Wegzusammenhangskomponenten sind also Zyklen und Ränder äquivalent. Nehmen wir jedoch einen Punkt auf einer Wegzusammenhangskomponenten und einen Punkt auf einer anderen Wegzusammenhangskomponenten, so können wir diese Punkte nicht durch eine Strecke verbinden, also wäre der dazugehörige 0-Zyklus kein Rand und somit seine 0-te Homologieklasse nicht trivial. Wir sehen damit, dass die nullte Homologieklasse im Grunde die Wegzusammenhangskomponenten zählt. Also ist $H_0(X,\mathbb{Z})=Z^n$, wobei $n$ die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten von $X$ ist (für Mannigfaltigkeiten etwa sind Wegzusammenhangskomponenten und Zusammenhangskomponenten identisch, also hat man dort für $n$ die Anzahl der Zusammenhangskomponenten). Die erste Homologiegruppe zählt die Anzahl der Löcher eines Raumes. Die 1-Zyklen sind geschlossene Wege (aus Strecken zusammengebastelt), also zB ein Dreiecksrand, und die 1-Ränder sind solche geschlossenen Wege, die als Rand eines zweidimensionalen Zyklus auftauchen (das sind dann etwa geschlossene Flächen wie Dreiecksflächen). Jetzt sieht man unmittelbar, dass da etwas schief läuft, wenn sich ein Loch innerhalb eines solchen geschlossenen Weges befindet. Denn dann kannst du im Allgemeinen keine geschlossene Fläche finden, die diesen Weg als Rand besitzt (das, was sich im Innern des Weges befindet, kannst du nicht als Fläche nehmen, da es keine geschlossene Fläche bzw. kein 2-Simplex ist, da ein Loch vorliegt) - etwa eine Ebene mit einem Loch (bei einer Kugel mit einem Loch und einem geschlossenen Weg drum kannst du dich retten, indem du die Fläche als all das außerhalb des Weges definierst, also drum herum, und das ist eine geschlossene Fläche). Wenn kein Loch vorliegt, dann nimmst du einfach den Weg plus das Innere des Weges und hast die Fläche gefunden, die den Weg als Rand besitzt, sodass du hier eine triviale Homologieklasse erhältst. Die erste Homologiegruppe zählt also die Löcher und ist in der Tat nichts anderes als die Abelisierung der Fundamentalgruppe von $X$.

Du musst aufpassen, von was für Löchern du sprichst. Ein (hohler, sprich nicht-gefüllter) Torus mit einem "Loch" hat ein "0-dimensionales" Loch (da zusammenhängend), zwei "eindimensionale Löcher" (korrespondierend zu den zwei unabhängigen geschlossenen Wegen auf dem Torus, die du sicherlich von der Fundamentalgruppe kennst, also ein Loch "innen" und eins "außen" - hier stimmt die Fundamentalgruppe mit der ersten Homologiegruppe überein, da ersteres bereits abelsch ist), und ein "zweidimensionales Loch" (das ist hier sozusagen der Hohlraum innerhalb des Torus wie beim Hohlraum einer Sphäre, der ebenfalls ein "2-dim" Loch beschreibt).

Deine Formel für den Genus eines Torus/Kurve/... (?) ist wahrscheinlich jene, die auf die Serre-Dualität beruht. Für eine glatte, projektive Varietät der Dimension $n$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ gilt für den (geometrischen) Genus $g(X) = \text{dim}_k H^n(X,\mathcal{O}_X)$. Wir nehmen eine (glatte, projektive) Kurve über $\mathbb{C}$ (Dimension 1), welche äquivalent zu einem Torus mit Henkeln ist. Der Genus der Kurve ist exakt die Anzahl der Henkel/Löcher des dazugehörigen Torus. Woher die "durch 2" in deiner Formel kommt, weiß ich nicht. Ich denke mal, in der Formel, die du meinst, wurde die Dimension des Vektorraumes $H^n(X,.)$ als $\mathbb{R}$-VR berechnet, denn dann muss man nämlich noch halbieren, um die komplexe Dimension zu erhalten. Das sind aber ganz konkrete Formeln für Varietäten, die im Fall von Kurven die Korrespondenz zur Tori benutzen. Das hat nichts mit allgemeinen topologischen Räumen zu tun, und überdies tauchen in diesen Formeln Kohomologie auf und nicht Homologie.

Ich rate dir, dich erst mal sehr intensiv mit diesen Dingen zu beschäftigen. Nach einiger Zeit Selbstbeschäftigung, eigenem Überlegen, Aufgabenlösen, etc. wird man schon selbst auf die Dinge kommen.



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-08

Vielen Dank für diese detaillierte Beschreibung.
Ich werde sie bald erneut aufgreifen, wenn ich vernünftig singuläre Homologie lerne.



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Theodore_97 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-08

Ich fand zufällig, dass $g(X)= \frac{1}{2}\cdot H_1(X(\mathbb{C}), \mathbb{Z})$, also der Genus einer glatten, projektiven Kurve über $\mathbb{C}$ stimmt überein mit der Hälfte der ersten Betti-Zahl des topologischen Raums $X(\mathbb{C})$ (das sagt die Formel oben). Und wie ich bereits erklärt habe, hat der Torus mit einem Henkel die erste Betti-Zahl 2, also zwei eindimensionale Löcher. Entsprechend hat ein Torus mit $g$ Henkeln die erste Betti-Zahl (Dimension von $H_1(X)$) $2g$. Der Genus ist also exakt die Hälfte der ersten Betti-Zahl. Daher die Formel.



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Saki17 Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22

@Triceratops
ich hatte einmal eine Herleitung der Serres Schnittszahl (in der algebraischen Schnitttheorie) gelesen, s. Abs. 8.6, insbesondere Exercise 28 von diesem Skript (ich hatte einmal nach der geometrischen Bedeutung von der Länge eines Moduln gefragt). Die so definierte Zahl "stimmt" mit der Vorstellung in elementaren Beispielen überein, etwa sollte die Schnittzahl von den Kurven $\{y=x^2\}\cap \{y=0\}$ auf der euklidischen Ebene 2 sein.

Allerdings ist die obige Heileitung etwas involviert (man verwendet u.a. Tor-Funktor bzw. deriviertes Tensorprodukt von Kettenkomplexen) und ich frage mich machmal, wie man auf diesartigen Formeln gekommen ist.

@Theodore_97, @Red_
Danke für eure Diskussion!



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