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Ingenieurwesen » Elektrotechnik » Nichtlineare zeitvariante Kapazität
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Universität/Hochschule J Nichtlineare zeitvariante Kapazität
Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-06 15:59


Auf der Seite



ist die Herleitung der Strom-Spannungs-Beziehung für eine nichtlineare zeitvariante Kapazität gezeigt.

Dabei verstehe ich den Übergang von Gl. 4.28 auf Gl. 4.31 nicht. Besonders die Überführung des zweiten Terms in Gl. 4.28 dq/dt nach 4.31 u*dC/dt impliziert durch gleichsetzen der Terme aus meiner Sicht, dass die partielle Ableitung von q nach t (Gl.28) das gleiche ergibt, wie die partielle Ableitung von q nach u (siehe Gl. 4.29 definition der Kapazität) und anschließender partieller Ableitung nach t multipliziert mit u (Gl.4.31)



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-06 18:33


2020-09-06 15:59 - Jambaleija im Themenstart schreibt:
Besonders die Überführung des zweiten Terms in Gl. 4.28 dq/dt nach 4.31 u*dC/dt impliziert durch gleichsetzen der Terme aus meiner Sicht ...

Der zweite Summand in Gleichung (4.31) ensteht nicht allein aus dem zweiten Summanden in Gleichung (4.28).

Du musst beachten, dass Gleichung (4.31) nicht zu Gleichung (4.28) äquivalent ist, sondern die Kleinsignalnäherung darstellt.

Wenn $u_0(t)$ und $i_0(t)$ Gleichung (4.28) lösen, dann ergibt sich für $u_0(t)+u(t)$ und $i_0(t)+i(t)$ in erster Ordnung in $u(t)$ und $i(t)$$$ i_0+i =
\left[C+{\partial C\over\partial u}\,u\right]\dot u_0 + C\,\dot u
+ {\partial q\over\partial t}
+ {\partial^2 q\over\partial t\,\partial u}\,u
$$$$ \iff\quad
i = C\,\dot u +
\left[{\partial C\over\partial u}\,\dot u_0
+ {\partial C\over\partial t}\right]u =
C\,\dot u + {\mathrm dC\over\mathrm dt}\,u
$$--zippy



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-06 18:47


Okay. Und wie genau erfolgt die Herleitung von Gl. 4.31 aus Gl. 4.28?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-06 18:55


2020-09-06 18:47 - Jambaleija in Beitrag No. 2 schreibt:
Und wie genau erfolgt die Herleitung von Gl. 4.31 aus Gl. 4.28?

Die Rechnung habe ich inzwischen oben ergänzt.



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-07 15:23


Mir ist grundsätzlich folgende Methode bekannt, um alternativ zu Taylorreihenentwicklung die Linearesierung erster Ordnung zu erhalten. Alle Variablen sind durch ihre statonären Arbeitspunkte, erweitert um eine kleine Auslenkung um diesen Arbeitspunkt zu ersetzen. Damit ist für die Spannung u bzw. Strom i  u=U_0+u(t) bzw. i=I_0+i(t) in der Gl. 4.28 einzusetzen.

(Im konkreten Anwendungsbeispiel also eine Gleichspannung U_0 an die nichtlineare zeitvariante Kapazität anzulegen und nach dem erreichen eines stationären Arbeitspunktes eine kleine Wechselspannung u(t) zu überlagern. Das System antwortet auf die Gleichspannung U_0 mit einem Gleichstrom I_0 und auf die kleine wechselspannung u(t) mit einem Wechselstrom i(t))

Nach dem Einsetzen werden alle nichtlinearen Terme zweiter Ordnung (z.B. u(t)*i(t)) vernachlässigt, ebenso alle Terme, die nur Variablen zur Beschreibung des stationären Arbeitspunktes enhalten (z.b. U_0*C), übrig bleiben nur noch Terme in denen die kleine Wechselgröße mit einer Konstanten Multipliziert wird (z.b. C*u(t)) bzw. da das System nach der Linearisierung wohl weiterhin zeitvariant ist, dürfen die Konstanten hier wohl auch eine Funktion der Zeit sein (z.b. C(t)*u jedoch keine Funktion der Variablen u d.h. C(u,t)*u ist nicht erlaubt sondern nur C(U_0,t)*u).


Vergleiche ich diese Vorgehensweise mit deiner Rechnung fällt folgendes auf. Bei dir sind die Variablen zur Beschreibung des stationären Arbeitspunkte nicht konstant U_0 sondern zeitliche veränderlich u_0(t). Warum ist das so?
Beim Versuch deine erste Zeile der Herleitung nachzuvollziehen, komme ich nicht auf das selbe Ergebnis, da nach einsetzen von u=u_0(t)+u(t) und i=i_0(t)+i(t) in Gl. 4.28 sich lediglich die explzite Ableitung du/dt umformen lässt (Bei meiner Definition der Vorgehensweise ändert sich dabei sogar überhaupt nichts, da die Ableitung von U_0 d.h. einer Gleichgröße gleich Null ist). Bei allen anderen Termin taucht u nur implizit auf (z.B. C(u,t) wird zu C(u_0(t)+u(t),t)) wie kann hier weiter umgeformt werden, ohne die konkrete Funktion von C zu kennen?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-08 09:06


2020-09-07 15:23 - Jambaleija in Beitrag No. 4 schreibt:
Bei dir sind die Variablen zur Beschreibung des stationären Arbeitspunkte nicht konstant U_0 sondern zeitliche veränderlich u_0(t). Warum ist das so?

Es ist nicht erforderlich, für die Kleinsignalnäherung von einer stationären Lösung auszugehen. Aber wenn du dich auf diesen Spezialfall beschränken willst, musst du nur $\dot u_0=0$ setzen.

2020-09-07 15:23 - Jambaleija in Beitrag No. 4 schreibt:
Bei allen anderen Termin taucht u nur implizit auf (z.B. C(u,t) wird zu C(u_0(t)+u(t),t)) wie kann hier weiter umgeformt werden, ohne die konkrete Funktion von C zu kennen?

Indem du solche Funktionen bis zur ersten Ordnung in $u$ entwickelst:$$ \begin{align*}
C(u_0+u,t)\cdot(\dot u_0+\dot u) &=
\left[C(u_0,t)+{\partial C\over\partial u}(u_0,t)\cdot u+\cdots\right]
  \cdot(\dot u_0+\dot u)\\[1.5ex]
&= C(u_0,t)\cdot\dot u_0 + C(u_0,t)\cdot\dot u
  + {\partial C\over\partial u}(u_0,t)\cdot u\cdot\dot u_0 + \cdots\;,
\end{align*}
$$wobei die Punkte für Summanden stehen, die mindestens quadratisch in $u$ und $\dot u$ sind.

Analog ist für den anderen Summanden$$ \begin{align*}
{\partial q\over\partial t}(u_0+u,t) &=
{\partial q\over\partial t}(u_0,t) +
{\partial^2q\over\partial t\,\partial u}(u_0,t)\cdot u+\cdots\\[1.5ex]
&= {\partial q\over\partial t}(u_0,t) +
{\partial C\over\partial t}(u_0,t)\cdot u+\cdots\;.
\end{align*}$$



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-09 14:44


Danke für die ausführliche Herleitung.

Hab versuch das gleiche Ergebnis mit dem linearen Term einer Taylorreihen-Entwicklung von Gl. 4.28 zu erreichen.


Mit der Kenntnis der richtigen Lösung komme ich auch zum richtigen Ergebnis. Ohne Kenntnis der richtigen Lösung hätte ich jedoch Gl. 2 gleich Null gesetzt, da die Ableitung der Konstanten du/du=1 gleich Null ist d1/dt=0 . Wieso ist das nicht so?

Wenn ich anschließend die Klammer ausmultipliziere komme ich auf Gl. 3, aber nur weil ich die Ableitung nicht Null gesetzt habe und zusätzlich u in die Ableitung geschrieben habe. Warum wird hier nicht auch C in das Differnzial d/dt gezogen, diese größe hängt doch auch von der Zeit ab und wird ebenso mit dem Differnzial multipliziert?

Bei den restlichen Termen landet u nicht in den Differenzialen. Warum?

Existieren hier allgemeine Rechenregeln wann beim ausmultiplliziern von Differnzialen die Multiplikatoren (hier u) in das Differnzial gezogen werden müssen/dürfen und wann nicht?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-11 12:10


Warum schreibst du $\vartheta$ statt $\partial$? Das stört nicht unwesentlich beim Lesen.

2020-09-09 14:44 - Jambaleija in Beitrag No. 6 schreibt:
Ohne Kenntnis der richtigen Lösung hätte ich jedoch Gl. 2 gleich Null gesetzt, da die Ableitung der Konstanten du/du=1 gleich Null ist d1/dt=0 .

Was du bei Gl. 2 machst, ergibt keinen rechten Sinn.

Der ursprüngliche Term war $\displaystyle{\mathrm du\over\mathrm dt}$. Jetzt ist $u$ durch $u_0+u$ zu ersetzen, und das ergibt$$ {\mathrm d\over\mathrm dt}\bigl[u_0(t)+u(t)\bigr] =
{\mathrm du_0\over\mathrm dt}+{\mathrm du\over\mathrm dt} \;.
$$Der zweite Summand ist der gesuchte lineare Term in der Taylor-Entwicklung.



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-11 16:32


Kann ich so nicht nachvollziehen. Wenn meine Gl.1 noch korrekt ist, dann ist doch bei einer Taylorreihe für alle u innerhalb der eckigen Klammern gleich u_0, also der Arbeitspunkt um den linearisiert werden soll, einzusetzen und nicht u_0+u wie von dir angedeutet.

Der Term innerhalb der eckigen Klammern von Gl.1 beschreibt die Steigung im Arbeitspunkt u_0 diese Steigung wird mit der kleinen Änderung um diesen Arbeitspunkt u (steht außerhalb der eckigen Klammern) multipliziert, das Produkt ergibt die Stromänderung i.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-11 18:23


2020-09-11 16:32 - Jambaleija in Beitrag No. 8 schreibt:
Wenn meine Gl.1 noch korrekt ist...

Das ist sie nicht. Schon der Term $\displaystyle{\mathrm d^2u\over\mathrm du\,\mathrm dt}$ ergibt keinen Sinn.

2020-09-11 16:32 - Jambaleija in Beitrag No. 8 schreibt:
... dann ist doch bei einer Taylorreihe für alle u innerhalb der eckigen Klammern gleich u_0, also der Arbeitspunkt um den linearisiert werden soll, einzusetzen und nicht u_0+u wie von dir angedeutet.

Mach dir nochmal klar, was die Taylor-Entwicklung hier überhaupt bedeutet: Wir haben eine Gleichung$$ F\bigl(i(t),u(t),\dot u(t),t\bigr)=0
$$und eine Lösung $i_0(t),u_0(t)$ dieser Gleichung. Jetzt suchen wir nach Lösungen der Form $i_0(t)+i(t)$ und $u_0(t)+u(t)$ mit "kleinen" $i(t)$ und $u(t)$. Dafür setzen wir diesen Ansatz in $F$ ein und machen eine Taylor-Entwicklung bis zur linearen Ordnung:$$ F\bigl(i_0(t)+i(t),u_0(t)+u(t),\dot u_0(t)+\dot u(t),t\bigr) \approx
F\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr) + $$$$ +
{\partial F\over\partial i}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)
  \cdot i(t)+
{\partial F\over\partial u}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)
  \cdot u(t)+
{\partial F\over\partial\dot u}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)
  \cdot\dot u(t) \stackrel!= 0
$$Erkennst du jetzt den Zusammenhang von "$u_0(t)+u(t)$ einsetzen" und "Taylor-Entwicklung"?

Machen wir mit der Rechnung weiter: Da $u_0$ eine Lösung ist und somit $F\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)$ verschwindet, bleibt für $i(t),u(t)$ die Gleichung$$ {\partial F\over\partial i}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)
  \cdot i(t)+
{\partial F\over\partial u}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)
  \cdot u(t)+
{\partial F\over\partial\dot u}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)
  \cdot\dot u(t) = 0
$$übrig. In unserem Fall ist$$ F(i,u,\dot u,t)=C(u,t)\cdot\dot u+{\partial q\over\partial t}(u,t)-i\;.
$$Wir haben also die partiellen Ableitungen$$\begin{align*}
{\partial F\over\partial i}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)&=
  -1\\[1.5ex]
{\partial F\over\partial u}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)&=
  {\partial C\over\partial u}\bigl(u_0(t),t\bigr)\cdot\dot u_0(t) +
  {\partial^2q\over\partial t\,\partial u}\bigl(u_0(t),t\bigr)\\[1.5ex]&=
  {\partial C\over\partial u}\bigl(u_0(t),t\bigr)\cdot\dot u_0(t) +
  {\partial C\over\partial t}\bigl(u_0(t),t\bigr)\\[1.5ex]
{\partial F\over\partial\dot u}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)&=
  C\bigl(u_0(t),t\bigr)
\end{align*}
$$und damit die Gleichung$$ \left[
  {\partial C\over\partial u}\bigl(u_0(t),t\bigr)\cdot\dot u_0(t) +
  {\partial C\over\partial t}\bigl(u_0(t),t\bigr)
\right]\cdot u(t) + C\bigl(u_0(t),t\bigr)\cdot\dot u(t)=i(t) \;.
$$Schließlich kann man noch den Inhalt der eckigen Klammern als totale Ableitung schreiben,$$ \left[
  {\partial C\over\partial u}\bigl(u_0(t),t\bigr)\cdot\dot u_0(t) +
  {\partial C\over\partial t}\bigl(u_0(t),t\bigr)
\right] = {\mathrm d\over\mathrm dt}\,C\bigl(u_0(t),t\bigr) \;.
$$



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12 12:10


Okay, dass man explizit nach der Ableitung von u die Taylorreihe entwickeln muss, darauf wäre ich allein nie gekommen.

Qualitativ habe ich bei meiner Gl.1 jedoch den gleichen Grundgedanken verfolgt wie du. Grundsätzlich ist mir klar, dass eine Linearisierung in u auch einen Einfluss auf die Ableitung von u haben muss, und ich diese nicht einfach als konstant betrachten kann (kleine Änderungen in u bewirken zwangsläufig kleine Änderungen in der Ableitung von u).
Damit ist bei der Linearisierung von u auch deren Ableitung in irgendeiner Form zu berücksichtigen, beide sind ja letztlich über den linearen Operator der Ableitung nach der Zeit miteinander verbunden. Mein Ansatz war es deshalb den Term du/dt in Gl. 4.28 als eine Funktion von u aufzufassen also du(t)/dt=g(u(t)) zu definieren, wobei g die Ableitung nach der Zeit ist d/dt. Wenn ich nun die Taylorreihe nach u entwickle (bei dir die partielle Ableitung von F nach u) muss bei mir die Produktregel angewendet werden, was nach meiner Rechnung in Gl.1 resultiert. Im Gegenzug zu deiner Version kann ich mir die explizite partielle Ableitung von F nach der Ableitung von u sparen.
Warum bei meinem Ansatz Unsinn raus kommt ist mir allerdings immer noch nicht klar, ist die Definition du(t)/dt=g(u(t)) falsch, habe ich die Kettenregel zu Ableitung von du(t)/dt=g(u(t)) nach u falsch angewendet (ich kenne kein Beispiel bei dem die Kettenregel angewendet wird und die äußere Funktion eine Ableitung nach der Zeit ist),...

Auch wenn ich, wie oben beschrieben, qualitativ bei deinem Ansatz verstehen kann, dass du bei der Linearisierung von F nach u, F nicht nur nach u sondern auch nach der Ableitung von u entwickelst, erscheint es mir trotzdem als sehr fragwürdig, bei der partiellen Ableitung von F nach u die Ableitung von u nach der Zeit als konstante zu betrachten (kleine Änderungen in u bewirken zwangsläufig kleine Änderungen in der Ableitung von u)



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-09-12 13:56


2020-09-12 12:10 - Jambaleija in Beitrag No. 10 schreibt:
Mein Ansatz war es deshalb den Term du/dt in Gl. 4.28 als eine Funktion von u aufzufassen also du(t)/dt=g(u(t)) zu definieren, wobei g die Ableitung nach der Zeit ist d/dt.

Das kann aber nicht funktionieren, weil die Ableitung $\dot u(t)$ von $u$ an der Stelle $t$ keine Funktion von $u(t)$ ist.

2020-09-12 12:10 - Jambaleija in Beitrag No. 10 schreibt:
... erscheint es mir trotzdem als sehr fragwürdig, bei der partiellen Ableitung von F nach u die Ableitung von u nach der Zeit als konstante zu betrachten

Es geht um die partielle Ableitung von $F$ nach nach dem Argument, in das man später $\dot u(t)$ einsetzen möchte. Beim Ableiten spielt es aber überhaupt keine Rolle, dass man das vorhat. Wenn dir die Bezeichnung $\dot u$ für dieses Argument nicht geheuer ist, nenne es einfach $v$ und schreibe$$ {\partial F\over\partial v}\bigl(i_0(t),u_0(t),\dot u_0(t),t\bigr)
  \cdot\dot u(t)\;.$$Inhaltlich ändert sich dadurch nichts.



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13 11:29


2020-09-12 13:56 - zippy in Beitrag No. 11 schreibt:
2020-09-12 12:10 - Jambaleija in Beitrag No. 10 schreibt:
Mein Ansatz war es deshalb den Term du/dt in Gl. 4.28 als eine Funktion von u aufzufassen also du(t)/dt=g(u(t)) zu definieren, wobei g die Ableitung nach der Zeit ist d/dt.


Das kann aber nicht funktionieren, weil die Ableitung $\dot u(t)$ von $u$ an der Stelle $t$ keine Funktion von $u(t)$ ist.

Kann man sich diese Aussage folgendermaßen logisch klar machen. Bei der partiellen Ableitung der Funktion F nach u stellt die Zeit t einen beliebigen aber konstanten Parameter da. Für einen beliebigen Zeitpunkt t=t_0 wird als bei einer Veränderung von u die Funktion u(t) an der Stelle u(t_0) nach oben oder unten verschoben. Da diese Aussage für jeden Zeitpunkt gilt und nicht nur für t_0 wird bei einer Veränderung von u die Funktion u(t) nach oben oder unten verschoben und zwar für jedes t um den gleichen Wert. Die Ableitung der Funktion u(t) nach t bleibt jedoch unabhängig von der Verschiebung in u immer konstant, da die Ableitung ja nur das Verhältnis zwischen der Änderung zweier benachbarter u-Werte für ein gegebenes Zeitintervall delta-t auswertet und damit keine Abhängigkeit zur der absoluten Verschiebung in u existiert. Damit ist du/dt bei der partiellen Ableitung von F nach u eine konstante.

Gibt es hier noch eine bessere Erklärung oder ist das so schon korrekt?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-09-13 12:18


2020-09-13 11:29 - Jambaleija in Beitrag No. 12 schreibt:
Damit ist du/dt bei der partiellen Ableitung von F nach u eine konstante.

Du vermischt immer noch das Einsetzen der Funktionen $i(t)$, $u(t)$, $\dot u(t)$ und $t$ in die Funktion $F$ und das partielle Ableiten von $F$ nach einem seiner vier Argumente.

Die partiellen Ableitungen werden aber berechnet, bevor man in $F$ irgendwas einsetzt.



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13 15:13


2020-09-13 12:18 - zippy in Beitrag No. 13 schreibt:

Die partiellen Ableitungen werden aber berechnet, bevor man in $F$ irgendwas einsetzt.

Das heißt, dass es ohne Bedeutung für die Linearisierung ist ob $\dot u(t)$ eine Funktion von u ist oder eben nicht?




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-09-13 19:30


2020-09-13 15:13 - Jambaleija in Beitrag No. 14 schreibt:
Das heißt, dass es ohne Bedeutung für die Linearisierung ist ob $\dot u(t)$ eine Funktion von u ist oder eben nicht?

Ja. Du macht erst eine Taylor-Entwickling bis zur linearen Ordnung von $F$,$$ F(a+\alpha,b+\beta,c+\gamma,t) = F(a,b,c,t) +$$$$+
{\partial F\over\partial a}(a,b,c,t)\cdot\alpha +
{\partial F\over\partial b}(a,b,c,t)\cdot\beta +
{\partial F\over\partial c}(a,b,c,t)\cdot\gamma + o(\alpha,\beta,\gamma)
$$und dann setzt du in diese Entwicklung $a=i_0(t)$, $b=u_0(t)$, $c=\dot u_0(t)$ und $\alpha=i(t)$, $\beta=u(t)$, $\gamma=\dot u(t)$ ein.



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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-14 00:14


Akzeptiert. Allerdings hab ich noch ein paar Fragen :-)

Frage 1
Zurück zur angegebenen Internetseite meines ersten Beitrages. Bei der Gl. 4.31 steht der Ausdruck $t=t_0$, taucht in der hier gezeigten Herleitung nicht auf, worauf soll damit hingewiesen werden.

Frage 2
Bei der Gl. 4.30 handelt es sich wie bei Gl. 4.28 um eine Gleichung zur Beschreibung des Großsignalverhaltens (d.h. ohne Linearisierung gültig)

Frage 3
Die linke Gleichung von 4.32 4.33 und 4.34 resutiert aus der linearisierten Gleichung 4.31 und gilt damit natürlich nur für Kleinsignale (d.h. mit Linearisierung) die rechte Gleichung von 4.32 4.33 und 4.34 sollte nach meiner Meinung zur Beschreibung des Großsignalverhaltens gültig sein (damit natürlich auch für das Kleinsignalverhalten)

Frage 4
Um die Ladung in der nichtlinearen zeitvarianten Kapazität zu berechnen kann entweder Gl. 4.31 nach t integriert werden bzw. direkt in Gl. 4.27 durch einsetzen von u(t) oder eben durch Gl. 4.30 berechnet werden



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-09-16 18:21


2020-09-14 00:14 - Jambaleija in Beitrag No. 16 schreibt:
Frage 1
Zurück zur angegebenen Internetseite meines ersten Beitrages. Bei der Gl. 4.31 steht der Ausdruck $t=t_0$, taucht in der hier gezeigten Herleitung nicht auf, worauf soll damit hingewiesen werden.

In der Abbildung 4.17 kommt keine Zeit vor. Daher vermute ich mal, dass hier nur der Zeitpunkt $t_0$ betrachtet werden soll.

(Das ganze Kapitel 4 ist leider sehr wortkarg. Vielleicht gibt es in den drei Kapiteln davor ein paar erhellende Erläuterungen.)

2020-09-14 00:14 - Jambaleija in Beitrag No. 16 schreibt:
Frage 2
Bei der Gl. 4.30 handelt es sich wie bei Gl. 4.28 um eine Gleichung zur Beschreibung des Großsignalverhaltens (d.h. ohne Linearisierung gültig)

Ja.

2020-09-14 00:14 - Jambaleija in Beitrag No. 16 schreibt:
Frage 3
Die linke Gleichung von 4.32 4.33 und 4.34 resutiert aus der linearisierten Gleichung 4.31 und gilt damit natürlich nur für Kleinsignale (d.h. mit Linearisierung) die rechte Gleichung von 4.32 4.33 und 4.34 sollte nach meiner Meinung zur Beschreibung des Großsignalverhaltens gültig sein (damit natürlich auch für das Kleinsignalverhalten)

Beide Seiten dieser drei Gleichungen gelten ohne Kleinsignalnäherung:
* 4.32 folgt aus 4.28, indem man $q(u,t)=q(u)$ setzt (Zeitinvarianz)
* 4.33 folgt aus 4.28, indem man $q(u,t)=C(t)\cdot u$ setzt (Linearität)
* 4.34 folgt aus 4.28, indem man $q(u,t)=C\cdot u$ setzt (Zeitinvarianz + Linearität)

Dabei ist noch zu beachten, dass die Kleinsignalnäherung ohnehin exakt wird, sobald man Linearität annimmt.

2020-09-14 00:14 - Jambaleija in Beitrag No. 16 schreibt:
Frage 4
Um die Ladung in der nichtlinearen zeitvarianten Kapazität zu berechnen kann entweder Gl. 4.31 nach t integriert werden bzw. direkt in Gl. 4.27 durch einsetzen von u(t) oder eben durch Gl. 4.30 berechnet werden

Wenn du 4.31 nach $t$ integrierst, bewegst du dich aber im Rahmen der Kleinsignalnäherung.



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Jambaleija hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Jambaleija hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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