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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Punktweises Auswerten von Limites in Funktorkategorien
Thema eröffnet 2020-09-08 15:05 von Kezer
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Autor
Universität/Hochschule J Punktweises Auswerten von Limites in Funktorkategorien
Kezer
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  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-10

Oh, habe vergessen, dass $\mathscr{V}$ als vollständig vorausgesetzt wird, sorry. Ich hatte gedacht ein Objekt $B$ ist terminal, wenn $\operatorname{Hom}(A,B)$ für alle $A$ terminal ist. Benutzt man diese Definition also nur, wenn $\mathscr{V}$ ein terminales Objekt besitzt? \quoteon(2020-10-10 21:38 - Triceratops in Beitrag No. 39) Welcher Beweis funktioniert dann für den Fall eines Quantals $\mathcal{V}$? \quoteoff Dein Beweis aus Beitrag No. 33. Vielleicht übersehe ich etwas?


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Kezer
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  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Das ist nur eine Anmerkung. Ich lese gerade folgende Aufgabe in Lands Buch "Introduction to Infinity-Categories" (Aufgabe 138), was zu diesem Thread passt: Zeige, dass $\mathscr{C}$ und $K$ existieren, sodass $\Fun(K, \mathscr{C})$ ein terminales Objekt besitzt, aber $\mathscr{C}$ nicht. (Ich nehme an hier soll $\mathscr{C}$ eine $\infty$-Kategorie und $K$ eine simpliziale Menge sein.)\(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Ich glaube es gibt ein Gegenbeispiel zur ursprünglichen Aussage: Wähle $\mathscr{C} = \emptyset$ und $\mathscr{D}$ als beliebige Kategorie ohne terminale Objekte. Wir sollten also wohl die Bedingung $\mathscr{C} \neq \emptyset$ hinzufügen.\(\endgroup\)


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Triceratops
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  Beitrag No.43, eingetragen 2022-07-30

\quoteonSeien $\mathscr{C}, \mathscr{D}$ Kategorien und $T : \mathscr{C} \to \mathscr{D}$ ein terminales Objekt in $\operatorname{Fun}(\mathscr{C}, \mathscr{D})$. Ist $T(A)$ ein terminales Objekt in $\mathscr{D}$ für alle $A \in \mathscr{C}$? \quoteoff Diese Aussage ist trivialerweise für $\mathscr{C}=\emptyset$ richtig.


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Kezer
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  Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-30

Oh upps, ja 😁 Hatte eine leicht andere Aufgabe gemacht... Aber dann ist ja gut.


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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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