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Universität/Hochschule Polarkoordinaten
Verzweiflung
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-09


Hallo an alle,

ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Polarkoordinaten und somit auch über das Integrieren über Kreisflächen.

Wenn ich das Gebiet $\Omega = \{(x,y)| x^2+y^2 \leq 1\}$ betrachte und die Funktion $f(x,y)=1$, dann kann ich durch die Transformation in Polarkoordinaten f leichter integrieren.
$$\int_{\Omega}f = \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 r * 1 dr d\phi = ... = \pi$$ dabei kommt das $r$ aus dem Transformationssatz.

Meine Frage ist nun folgende. Wenn ich das Gebiet $R = \{(x,y)| |x|+|y| \leq 1\}$ betrachte, dann ist dies ja der Einheitskreis bzgl der Metrik $d(x,y):= |x|+|y|$. Man kann ja dann auch jeden Punkt durch Polarkoordinaten darstellen, allerdings verändert sich $r$ in $r= |x|+|y|$. Kann ich dann auch durch den Transformationssatz über die Polarkoordinaten integrieren? Ich kriege das nicht hin. Mein Ansatz ist
$$\int_R f = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r*1 dr d\phi = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} d\phi = \pi$$ Allerdings muss als Ergebnis 2 herauskommen. Wo liegt mein Fehler? Ich muss ja irgendwie berücksichtigen, dass $r$ nur von 0 bis $|x|+|y|$ geht.

Vielen Dank für eure Hilfe!



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-09

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Hallo Verzweiflung,

der Faktor $r$ aus dem Transformationssatz gilt nur für echte Polarkoordinaten, also jene bezüglich der euklidischen Metrik. Für deine "Polar"koordinaten wirst du aber eine andere Jacobimatrix und entsprechend eine andere Jacobideterminante erhalten. Insbesondere nicht die Jacobideterminante $r$.
Speziell für dieses Problem empfehle ich dir, einfach in kartesischen Koordinaten zu bleiben. Die von dir beschriebene Figur ist nämlich eine Raute, das lässt sich in kartesischen Koordinaten gut behandeln.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Natürlich kann man auch in Polarkoordinaten rechnen.

Nur muss man dann andere Grenzen verwenden. In ersten Quadranten zum Beispiel ist \( x+y=1\) durch \( r(\sin\phi +\cos\phi)=1\) zu ersetzen. Für den Winkelbereich von \( 0\) bis \( \pi/2\) ist die \( r\)-Grenze des Integrals damit \( 0\) bis \( \D\frac{1}{\sin \phi+\cos \phi}\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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