Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » uneigentliche Integrale » Wieso divergiert Integral von x=0 bis x=1 für f(x) = 1/x^3, aber nicht für g(x) = 1/√(x) ?
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Wieso divergiert Integral von x=0 bis x=1 für f(x) = 1/x^3, aber nicht für g(x) = 1/√(x) ?
Snetro
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.09.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-10


Moin.

Habe mich gestern Abend mal wieder mit uneigentlichen Integralen beschäftigt und bin auf folgenden, interessanten Sachverhalt gestoßen:

Wenn Ich das uneigentliche Integral von 0 bis 1 für \(f\left( x\right)=\frac1{\sqrt{ x}}\) bilde, erhalte ich 2 als Ergebnis. Das Integral konvergiert also gegen 2:

\(A=\underset{a\rightarrow0}{\lim}\int_a^1\frac1{\sqrt x}\mathrm{d}x=\underset{a\rightarrow0}{\lim}\left[2\sqrt x\right]_a^1=\left[2\sqrt x\right]_0^1=2-0=2\)


Wenn ich nun aber die Funktion \(g\left(x\right)=\frac1{x^3}\) im Bereich von 0 bis 1 integriere, divergiert das Integral:

\(B=\underset{a\rightarrow0}{\lim}\int_a^1\frac1{x^3}\mathrm{d}x=\underset{a\rightarrow0}{\lim}\left[-\frac1{2}\frac1{x^2}\right]_a^1=\underset{a\rightarrow0}{\lim}(\frac1{2a^2}-\frac1{2})=∞\)


Ich frage mich nun wieso zwei Funktionen, welche beide nicht an \(x=0\) definiert sind, da sie dort eine Polstelle besitzen, einmal ein konvergentes Integral und einmal ein divergentes Integral an der Polstelle (von 0 bis 1) ergeben. Wie kann das sein?

Ich habe es mir erstmal so erklärt, dass die Stammfunktion von \(f\left( x\right)\) an der Stelle \(x=0\) definiert ist, also einen endlichen Funktionswert an \(x=0\) besitzt, wohingegen die Stammfunktion von \(g\left( x\right)\) dort eine Polstelle besitzt, sich also wie \(g\left( x\right)\) selbst divergent gegen \(x=0\) verhält. Aber das ist meiner Meinung nach eine zu triviale Erklärung.


Wie können zwei Funktionen, welche beide an der Stelle 0 ins unendliche steigen, zwei verschiedene Flächen unter der Kurve im Intervall von 0 bis 1 besitzen?
Ich bitte um eine anschauliche, weniger mathematische Erklärung.

Falls sich dies nicht weniger mathematisch erklären lässt, würde ich mich auch über eine mathematisch exakte Erklärung freuen. Doch eine weniger mathematische Veranschaulichung wäre auch toll! 🙂


Dankesehr!🤗

P.S.: Ich bin kein Mathematiker, sondern studiere ein Ingenieurs-Studium. Hatte bereits Mathe 1 und 2 für Ingenieure und numerische Mathematik für Ingenieure.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2940
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-10


Hallo, eine nicht ganz vollständige Erklärung ist, dass $\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{x^3}$ für alle $x\in(0,1)$ gilt. So kann das eine Integral existieren (einen endlichen Wert haben) und das andere eben nicht (unendlich sein).

Kennst du die Konvergenzkriterien für Reihen? Die gibt es auch in manchen Ingenieurs-Mathe-Veranstaltungen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2072
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-10


Moin,

beide Integrale sind durch Grenzwerte bestimmt, nämlich durch
$$\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x$$ bzw. äquivalent für $g$. Für jeden Wert von $a>0$ ergibt sich ein endlicher Wert. Im einen Fall existiert der Grenzwert sogar, d.h. die eingeschlossene Fläche konvergiert gegen einen endlichen Wert, im anderen Fall wird die Fläche eben unendlich groß. Für kleine $x$ wächst $1/x^3$ ja auch bedeutend schneller als $1/\sqrt{x}$.

Das ist genauso wenig überraschend, wie die Tatsache, dass die unendliche Summe $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ existiert, die Summe $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ hingegen diverent ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Snetro
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 10.09.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10


Danke für Eure Antworten. Werde über den ersten Teil noch mal nachdenken müssen. 😁

2020-09-10 14:32 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Kennst du die Konvergenzkriterien für Reihen? Die gibt es auch in manchen Ingenieurs-Mathe-Veranstaltungen.
Ja, habe sie zwar nicht mehr genau im Kopf, aber Leibnizkriterium, Wurzelkriterium etc. sind mir bekannt. Wieso?


Edit:
Könnte man das ganze so interpretieren, dass g(x) die y-Achse (xon x > 0 betrachtet) langsamer erreicht, als es f(x) tut und dass f(x) alao viel schneller "nah" an der y-Achse landet? Also so, dass g(x) aufgrund der größeren Funktionswerte viel schneller eine riesige Fläche aufspannt, wohingegen f(x) viel langsamer steigt?
Ja, ist jetzt ziemlich wirr, aber muss jetzt weg. Werde darüber noch mal nachdenken und später noch mal schreiben! Danke.🙂



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4927
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

2020-09-10 14:56 - Snetro in Beitrag No. 3 schreibt:
Ja, habe sie zwar nicht mehr genau im Kopf, aber Leibnizkriterium, Wurzelkriterium etc. sind mir bekannt. Wieso?

Na ja, da hat man ja im Prinzip das gleiche Phänomen: eine Summe aus unendlich vielen Summanden besitzt im einen Fall einen Wert, im anderen Fall nicht.

Leichter kann man den Zusammenhang vielleicht verstehen, wenn man uneigentliche Integrale mit der oberen Grenze \(\infty\) betrachtet, also etwa

\[\int_{x=1}^{\infty}{\frac{\on{dx}}{x}}\]
und


\[\int_{x=1}^{\infty}{\frac{\on{dx}}{x^2}}\]
Die entsprechenden Reihen

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\]
bzw.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]
verhalten sich hier - was die Konvergenz angeht - exakt genau wie die beiden Integrale.

Eine etwas "unmathematischere" Erklärung kennt mancher vielleicht noch aus der Schulmathematik: da wird oft von "ins Unendliche reichenden Flächen" gesprochen, die eben im einen Fall einen Inhalt besitzen und im anderen Fall nicht (das meint dann konkret: sie sind dann auch "unendlich groß").


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27486
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Das ist zwar keine Begründung und schon gar kein Beweis, aber immerhin eine Veranschaulichung (wobei man mit sowas immer vorsichtig sein muß, die Anschauung trügt hin und wieder):

Grün ist $f(x)$, rot die zusätzliche Fläche für $g(x)$.
Für $x \rightarrow 0$ nimmt die grüne Fläche fast gar nicht mehr zu, während die rote Fläche weiterhin kräftig zulegt.

Gruß vom ¼

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]