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Zahlentheorie » Teilbarkeit » Primzahlenbeweis
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Universität/Hochschule Primzahlenbeweis
NffN1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-10


Guten Tag,

Wie geht man vor um folgende Aufgabe zu lösen:

Zeige, dass jede natürliche Zahl n = 4k + 3 mit k ∈ N mindestens
einen Teiler besitzt, der auch von dieser Gestalt ist.

MfG,
Noah



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-10


Hallo NffN1,

das Gegenteil wäre ja, dass alle Teiler von der Form 4k, 4k+1 oder 4k+2 sind. Was kannst du dann über das Produkt sagen?



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NffN1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10


Ich bin mir nicht sicher ob ich verstehe welches Produkt gemeint ist. Aber vielleicht kann man es nach dem Argument beweisen: zB 4k kann kein Teiler sein, da 4k=0 mod4, wohingegen 4k+3=3mod4.
Oder geht das nicht?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-10


Die Aussage soll ja sicherlich auch für prime n gelten. Welchen Teiler nimmt man da notgedrungenerweise?



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-10


4k+0 und 4k+2 können in der Tat keine Teiler von 4k+3 sein.
Deine Begründung kann man jedoch nicht nachvollziehen.


Brute-Force-Idee:
Betrachte die 4 Möglichkeiten 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3.
Es gibt jetzt 16 mögliche Produkte.
Rechne einfach mal alle aus.

Bspw.
(4a+1) * (4b+3) = 16ab+12a+4b+3 = 4(4ab+3a+b)+3 => 4k+3


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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NffN1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10


Ist das Beispiel (4a+1)(4b+3) dann das einzige dass ein Resultat der From (4k+3) gibt? Dann wäre die Aussage bewiesen, aber wie würde man das eleganter machen?



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-10


Ich gebe 'mal den advocatus diaboli - hier vulgo "Spielverderber", weil ich mir nicht vorstellen kann, dass die Aufgabe mit dem Wortlaut gestellt wurde...

Je nach Auffassung von "natürlicher Zahl" gilt
entweder   \(K=\{n=4\cdot k+3\land k\in\mathbb{N^+}\}=\{7;11;15;19;23;27;31;35;39;43;...\}\)
oder   \(K^*=\{n=4\cdot k+3\land k\in\mathbb{N_0}\}=\{3;7;11;15;19;23;27;31;35;39;43;...\}\) .
Sowohl \(K\) als auch \(K^*\) enthalten Primzahlen.
Damit ist entweder die Aussage widerlegt, oder es müsste als "Beweis" ausreichen, dass jede natürliche Zahl Teiler ihrer selbst ist. Was schon arg trivial wäre!

Folgende Formulierung klingt mir da eher herausfordernd:

Zeige, dass jede natürliche Zahl \(n=4\cdot k+3\) mit \(k\in\mathbb{N}_0\) entweder eine Primzahl ist, oder mindestens einen natürlichen Teiler hat, welcher von gleicher Gestalt ist wie \(n\).



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ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-10


@Cramilu:
Natürlich teilt sich jede natürliche Zahl selbst.



Gemeint ist vermutlich:
Schreibt man eine natürliche Zahl der Form 4k+3 als Produkt ntürlicher Zahlen (trivial oder nicht-trivial), so gibt es mindestens einen Teiler gleicher Form.
Für die anderen drei Restklassen gilt analoges ja nicht!


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-10


@DerEinfaeltige:
[...] Natürlich[!] teilt sich jede natürliche Zahl selbst. [...]
Klasse formuliert!
Es sei mir bitte gestattet, persönlich die zitierte Aufgabenstellung dennoch für trivial zu halten. Dein Beitrag #4 beantwortet es dann immerhin formal tadellos. Meine Abänderung der Aufgabenformulierung macht das ganze jedoch... spannender. Nichts für ungut!

p.s.
Sei \(n=4\cdot k\) :
Dann... \((4a)\cdot(4b)=16ab=4\cdot(4ab)\) ...
Sei \(n=4\cdot k+1\) :
Dann... \((4a+1)\cdot(4b+1)=16ab+4a+4b+1=4\cdot(4ab+a+b)+1\) ...
Sei \(n=4\cdot k+2\) :
Dann... \((4a+1)\cdot(4b+2)=16ab+8a+4b+2=4\cdot(4ab+2a+b)+2\) ...


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ODERINT DUM NERVOS NE VEXENT!




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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-10


Advocatus offtopicoli😎:

2020-09-10 20:30 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 7 schreibt:
Gemeint ist vermutlich:
Schreibt man eine natürliche Zahl der Form 4k+3 als Produkt ntürlicher Zahlen (trivial oder nicht-trivial), so gibt es mindestens einen Teiler gleicher Form.

Hierauf aufbauend zeige man, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4k+3 gibt!

mfg
thureduehrsen



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-10


@thureduehrsen:
Dirichlet?! Repetitiones non placent ;)


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