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| Autor |
  Untersuchung auf kritische Punkte |
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kokosnusskopf
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 113
 |  Themenstart: 2020-09-10
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Hallo Matheplanet,
ich kenne mich nicht sehr gut mit dem Thema Extremwerte bei mehrdimensionalen Funktionen aus und stelle mir die Frage, warum im Internet als Ergebnisse auf die Suchanfrage "Untersuchung auf kritische Punkte bei mehrdimensionalen Funktionen" immer steht, man müsse den Gradienten gleich Null setzen.
Sorgt die Tatsache, dass die partiellen Ableitungen in einem Punkt gleich Null sind auch dafür, dass alle Richtungsableitungen in diesem Punkt auch gleich Null sind? Das scheint mir unlogisch. Jedoch muss genau das doch erfüllt sein, wenn an einem Punkt ein lokales Minimum / Maximum vorliegt.
Warum untersucht man also nur die partiellen Ableitungen?
Danke im Vorraus
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo kokosnusskopf,
das ist völlig analog zum eindimensionalen Fall: die Forderung, dass der Gradient gleich Null sein muss ist eine notwendige Bedingung, aber keine hinreichende.
Daraus folgt ja dann auch schon, dass man mit der Lösung des Gleichungssystems \(\on{grad}(f)=0\) eben noch nicht fertig ist, sondern nach hinreichenden Bedingungen für Extrempunkte suchen muss.
Für gewöhnlich macht man das mit der sog. Hesse-Matrix.
Beantwortet das deine Frage schon?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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kokosnusskopf
Wenig Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 113
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10
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Hallo Diophant
Mir ist bewusst, dass dies nur notwendige Bedingungen für einen Extremstelle sind. Unklar ist mir jedoch, warum man mit diesem Verfahren bereits die ganze Menge der kritischen Punkte herausfindet. Sind kritische Punkte so definiert? Möglicherweise lässt sich mein Problem auf die Definition eines kritischen Punktes reduzieren.
Wenn kritische Punkte genau die Punkte sind, an denen die (Frechet-)Ableitung verschwindet, so erhält man durch das Gleichsetzen des Gradienten mit der Null doch lediglich Kanditaten für kritische Punkte, richtig? D.h. man müsste um zu verifizieren, dass die Ableitung an diesen stellen 0 ist, weitere Arbeit leisten. Hiervon ist jedoch nirgends im Internet die Rede, es kam mir so vor als handle es sich bereits um ein hinreichendes Kriterium für kritische Punkte.
Insofern ist diese Fragestellung nicht analog zum eindimensionalen Fall, weil es mir nicht um das Herausfinden von Maxima / Minima, sondern um das von Punkten geht, an denen die Ableitung verschwindet.
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Diophant
Senior
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Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-10
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Hallo,
"kritische Punkte" sind doch die Kandidaten für Extrempunkte. Hilft das weiter?
Gruß, Diophant
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kokosnusskopf
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Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 113
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10
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Naja aber von diesen Kandidaten gibt es meiner Ansicht nach zwei Sorten:
Welche, an denen die partiellen Ableitungen Null sind und welche an denen die Frechet-Ableitung Null ist. Welche Sorte soll man nun als "kritischen Punkt" betrachten?
Würde man analog wie im eindimensionalen Fall definieren, so wären kritische Punkte die Punkte, an denen die Frechet-Ableitung die Null ist. Eine bloße Untersuchung, ob der Gradient verschwindet, würde demnach nicht ausreichen für das sicherstellen eines kritischen Punktes.
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kokosnusskopf
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Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 113
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-10
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Okay, ich habe die Antwort auf meine Frage mittlerweile selbst erschlossen:
Aus Frechet-differenzierbarkeit und der Tatsache, dass alle partiellen Ableitungen Null sind, folgt, dass auch die Frechet-Ableitung an dem Punkt Null ist. Beweis:
f: E -> F sei in x0 Frechet-differenzierbar und alle partiellen Ableitungen von f seien ausgewertet in x0 gleich Null. Aus der Frechetdiffbarkeit in x0 folgt die Existenz der Gateaux-Ableitung in x0, die mit der Frechet-Ableitung übereinstimmt. Die Gateaux-Ableitung ausgewertet in einem Punkt h aus E ist gerade die Richtungsableitung in Richtung h und ist linear in h. h kann man nun als linearkombination der Standardbasisvektoren darstellen. Da die Richtungsableitungen in Richtung der Standardbasisvektoren gleich den partiellen Ableitungen in x0, also n.V. 0 sind, folgt aus der Linearität der Gateaux-Ableitung, dass diese in x0 die Nullabbildung ist. Somit folgt, dass auch die Frechet-Ableitung die Nullabbildung (die 0) ist.
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