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Funktionentheorie » Integration » Umgang mit komplexen Integranden
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Beruf Umgang mit komplexen Integranden
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-10


Hallo zusammen,

Es ist zu beweisen dass:

$\int_0^\infty e^{-\alpha t} t^{z-1} dt=\alpha^{-z}\int_0^\infty e^{-t} t^{z-1} dt$ für alle $(\alpha, z) \in \{z\in \mathbb{C}|Re(z)>0\}$

Dieser Beweis geht mir fast zu einfach. Wie in Gymnasialmathematik.
Variablensubstitution $u=\alpha t$ und es geht alles perfekt auf.


Zwar konnte ich die Musterlösung einwandfrei verstehen, die Problemstellung ist mir jedoch unklar.

Das Integral wurde für die komplexe Analysis nicht neu definiert.
Stellt sich die Frage, inwiefern man mit komplexen, bzw. imaginären Integranden genauso verfahren darf wie mit reellen.

Aus dem Physikunterricht sind wir uns ja auch gewohnt mit Einheiten unter dem Integranden so zu verfahren als wären es Zahlen.

Ich kann nicht begründen, weshalb ich mit der imaginären Einheit $i$ im Integral nicht genauso verfahren kann, wie ich im Physikunterricht mit Einheiten wie Ampère, Kilogramm, Sekunde o.ä.
im Integral verfahren würde.


Ich verstehe daher nicht, weshalb der Beweis mit der Substitution $\alpha t=u $ noch nicht zu Ende ist.

Ich wäre froh, wenn jemand dazu etwas sagen könnte.







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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-11


2020-09-10 21:08 - sulky im Themenstart schreibt:
Ich verstehe daher nicht, weshalb der Beweis mit der Substitution $\alpha t=u $ noch nicht zu Ende ist.

Weil nach dieser Substitution der Integrationsweg nicht mehr auf der reellen Achse liegt, sondern quer durch die komplexe Ebene verläuft.

--zippy



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