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Universität/Hochschule J Injektive lineare Abbildung - Basis
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-11


Hallo!

Ich stehe vor folgender Aufgabe:

"Zeigen Sie: Wenn $\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\}$ eine Basis des $\mathbb{R}^{3}$ ist und $\varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ eine injektive lineare Abbildung ist, dann ist $\{\varphi(v_{1}), \varphi(v_{2}), \varphi(v_{3})\}$ wiederrum eine Basis des $\mathbb{R}^{3}$. (Sie dürfen nicht den Satz benutzen, dass injektive lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen gleicher endlicher Dimension Isomorphismen sind)"

Mein Ansatz ist folgender:

Bezeichne

$\varphi(v_{1}) = w_{1}\\
 \varphi(v_{2}) = w_{2}\\
 \varphi(v_{3}) = w_{3}$

Dadurch das die Abbildung Injektiv ist, gilt $w_{1} \neq w_{2} \neq w_{3}$

Diese drei Vektoren sollen nun eine Basis sein, bedeutet: Sie müssen linear unabhängig sein und es muss sich jeder Vektor als eindeutige LK aus diesen Vektoren ergeben.

Nimmt man an es gäbe für einen beliebigen Vektor $w \in \mathbb{R}^{3}$ zwei verschiedene Darstellungen, so würde gelten:
$w = r_{1} \cdot w_{1} + r_{2} \cdot w_{2} + r_{3} \cdot w_{3} = r_{1}' \cdot w_{1} + r_{2}' \cdot w_{2} + r_{3}' \cdot w_{3}\\
\Leftrightarrow (r_{1} - r_{1}')w_{1} + (r_{2}-r_{2}')w_{2} + (r_{3} - r_{3}')w_{3} = 0$

Dies würde genau dann gelten, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind, denn dann gibt es eine nicht triviale Darstellung des Nullvektors. Daraus folgt aber auch:

$\Leftrightarrow (r_{1} - r_{1}')\varphi(v_{1}) + (r_{2}-r_{2}')\varphi(v_{2}) + (r_{3} - r_{3}')\varphi(v_{3}) = 0\\
\Leftrightarrow \varphi((r_{1} - r_{1}')v_{1} + (r_{2}-r_{2}')v_{2} + (r_{3} - r_{3}')v_{3}) = 0$

Dies würde aber bedeuten, da innerhalb der Klammern eine neue LK eines anderen Vektors steht, das ein anderer als der Nullvektor auf die 0 abgebildet wird was wiederum gegen die Injektivität spricht. Deshalb führt die Annahme, die 3 Bilder der Basis sind keine Basis zu einem Widerspruch.

Was meint ihr, habe ich hier quatsch überlegt oder geht der Beweis in eine richtige Richtung? Ich freue mich über jegliches Feedback ! Danke und lg!



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-11


Hallo MePep,



Nimmt man an es gäbe für einen beliebigen Vektor $w \in \mathbb{R}^{3}$ zwei verschiedene Darstellungen, so würde gelten:
$w = r_{1} \cdot w_{1} + r_{2} \cdot w_{2} + r_{3} \cdot w_{3} = r_{1}' \cdot w_{1} + r_{2}' \cdot w_{2} + r_{3}' \cdot w_{3}\\
\Leftrightarrow (r_{1} - r_{1}')w_{1} + (r_{2}-r_{2}')w_{2} + (r_{3} - r_{3}')w_{3} = 0$


Wieso kannst du den Vektor \(w\) in \(w_1, w_2, w_3\) zerlegen?



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-11


2020-09-11 17:27 - Rathalos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo MePep,



Nimmt man an es gäbe für einen beliebigen Vektor $w \in \mathbb{R}^{3}$ zwei verschiedene Darstellungen, so würde gelten:
$w = r_{1} \cdot w_{1} + r_{2} \cdot w_{2} + r_{3} \cdot w_{3} = r_{1}' \cdot w_{1} + r_{2}' \cdot w_{2} + r_{3}' \cdot w_{3}\\
\Leftrightarrow (r_{1} - r_{1}')w_{1} + (r_{2}-r_{2}')w_{2} + (r_{3} - r_{3}')w_{3} = 0$


Wieso kannst du den Vektor \(w\) in \(w_1, w_2, w_3\) zerlegen?

Weil man einen Vektor v mit der Basis $\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\}$ darstellen kann, also:

$\varphi(v) = \varphi(r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2} + r_{3}v_{3})$ und da $\varphi$ eine lineare Abbildung ist kann man die linearität ausnutzen und erhält $\varphi(v) = \varphi(r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2} + r_{3}v_{3}) = r_{1}\varphi(v_{1}) + r_{2}\varphi(v_{2}) + r_{3}\varphi(v_{3}) = r_{1}w_{1} + r_{2}w_{2} + r_{3}w_{3}$

Oder?



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-11


Mallo MePep,

Dann hast du, dass du \(\phi(v)\) als Summe darstellen kannst. Wären nun \(\phi(v_1) = (1,0,0), \phi(v_2) = (2, 0, 0) ,...\) kannst du alle Vektoren der Form \(w = (x, 0, 0)\) darstellen. Du sollst ja gerade nicht verwenden, dass \(\phi\) surjektiv ist.



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12


2020-09-11 17:47 - Rathalos in Beitrag No. 3 schreibt:
Mallo MePep,

Dann hast du, dass du \(\phi(v)\) als Summe darstellen kannst. Wären nun \(\phi(v_1) = (1,0,0), \phi(v_2) = (2, 0, 0) ,...\) kannst du alle Vektoren der Form \(w = (x, 0, 0)\) darstellen. Du sollst ja gerade nicht verwenden, dass \(\phi\) surjektiv ist.

Jetzt sehe ich meinen Fehler, ich werde das ganze nochmal überdenken und neu anfangen, danke!



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-14


Ich habe mir noch einmal Gedanken gemacht und bin gerade an einem neuen Ansatz.

Ich frage mich aber gerade ob ich mich nicht am Ende im Kreis drehen werde. Ist die Strategie, versuchen zu zeigen das die Bilder der 3 Basis Vektoren wieder linear abhängig sind überhaupt der richtige Weg?

(Ich fühle mich durch den Hinweis des Aufgabenstellers gerade irgendwie so eingeschränkt das es mir oft schwer fällt zu sehen ob ich dagegen verstoße. Ohne diese Einschränkung könnte man ja eben auch schön über die Dimension des Kerns und des Bildes argumentieren.)



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-14


2020-09-14 14:42 - MePep in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich frage mich aber gerade ob ich mich nicht am Ende im Kreis drehen werde. Ist die Strategie, versuchen zu zeigen das die Bilder der 3 Basis Vektoren wieder linear abhängig sind überhaupt der richtige Weg?
Ja (allerdings sollen die Bilder linear unabhängig sein). Du machst es dir aber unnötig schwer, indem du versuchst zu zeigen, dass ein beliebiger Vektor auf eindeutige Art und Weise als Linearkombination der Bilder dargestellt werden kann. Es genügt, wenn man das mit der Null macht, und dass dann die triviale Linearkombination die einzige ist.


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⊗ ⊗ ⊗



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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-14


2020-09-14 14:47 - ligning in Beitrag No. 6 schreibt:
2020-09-14 14:42 - MePep in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich frage mich aber gerade ob ich mich nicht am Ende im Kreis drehen werde. Ist die Strategie, versuchen zu zeigen das die Bilder der 3 Basis Vektoren wieder linear abhängig sind überhaupt der richtige Weg?
Ja (allerdings sollen die Bilder linear unabhängig sein). Du machst es dir aber unnötig schwer, indem du versuchst zu zeigen, dass ein beliebiger Vektor auf eindeutige Art und Weise als Linearkombination der Bilder dargestellt werden kann. Es genügt, wenn man das mit der Null macht, und dass dann die triviale Linearkombination die einzige ist.

Ups da hab ich ja glatt abhängig statt unabhängig geschrieben 😲 war nur ein Tippfehler!

Ja das Gefühl hatte ich auch, dass ich es mir unnötig schwer mache, besonders weil mir sowas oft passiert wenn die Materie und ich noch nicht so wirklich wollen...

Jedenfalls, da die Abbildung Injektiv ist gilt ja
$\varphi(v_{1}) \neq 0$
$\varphi(v_{2}) \neq 0$
$\varphi(v_{3}) \neq 0$
und auch
$\varphi(v_{1}) \neq \varphi(v_{2}) \neq \varphi(v_{3})$

Meintest du das mit der 0 ungefähr so? Man weiß ja, $\varphi(0) = 0$, und die 0 könnte man darstellen als $r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2} + r_{3}v_{3}$ wobei alle 3 Skalare = 0 sein müssen, da die 3 Vektoren eine Basis bilden und linear UNabhängig sind.

Also auch $\varphi(0) = \varphi(r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2} + r_{3}v_{3}) = r_{1}\varphi(v_{1}) + r_{2}\varphi(v_{2}) + r_{3}\varphi(v_{3})$

und $r_{1}\varphi(v_{1}) + r_{2}\varphi(v_{2}) + r_{3}\varphi(v_{3}) = 0$ eben nur wenn alle 3 Skalare 0 sind, resultiert die Aussage schon daraus oder drehe ich mich jetzt wirklich gerade im Kreis?



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ligning
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2020-09-14 15:08 - MePep in Beitrag No. 7 schreibt:
Jedenfalls, da die Abbildung Injektiv ist gilt ja
$\varphi(v_{1}) \neq 0$
$\varphi(v_{2}) \neq 0$
$\varphi(v_{3}) \neq 0$
und auch
$\varphi(v_{1}) \neq \varphi(v_{2}) \neq \varphi(v_{3})$
Den Teil braucht man nicht.


Meintest du das mit der 0 ungefähr so? Man weiß ja, $\varphi(0) = 0$, und die 0 könnte man darstellen als $r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2} + r_{3}v_{3}$ wobei alle 3 Skalare = 0 sein müssen, da die 3 Vektoren eine Basis bilden und linear UNabhängig sind.
Ich meinte es so: Um zu zeigen, dass $\varphi(v_1)$, $\varphi(v_2)$, $\varphi(v_3)$ linear unabhängig sind, macht man den Ansatz

$a_1\varphi(v_1) + a_2\varphi(v_2) + a_3\varphi(v_3) = 0$

und zeigt, dass dann zwingend $a_1, a_2, a_3 = 0$ sein müssen. Dabei wird man die Linearität und die Injektivität von $\phi$ benutzen. (Eigentlich ist das auch die mir bekannte Definition für lineare Unabhängigkeit und der Teil mit der eindeutigen Darstellbarkeit eine Folgerung, aber vielleicht hast du es umgekehrt kennengelernt.)



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