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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Koordinatentransformation
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Universität/Hochschule Koordinatentransformation
Georg_1992
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-11


Hallo,

ich lerne gerade für eine Prüfung in faserverstärkten Kunststoffen.
Dazu wird eine Koordinatentransformation um den Winkel α in der Ebene durchgeführt. Die Transformationsmatrix [T]=((cos^2(α),sin^2(α),−2sin(α)cos(α)),(sin^2(α),cos^2(α),2sin(α)cos(α)),(sin(α)cos(α),−sin(α)cos(α),(cos^2(α)−sin^2(α))


Die Transformation der Matrix Q wird angegeben als [Q′]=[T][Q][T]^T

Ich habe noch in Erinnerung, dass es (wie das natürlich sicher auch ist) eine einleuchtende Erklärung dafür gab, warum [T] UND [T]^T an Q multipliziert werden müssen, warum das zweite [T] transponiert werden muss, ...

Ich wäre sehr dankbar für Eure Hilfe!

Viele Grüße!



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Tirpitz
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Mitteilungen: 774
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-11


Hallo Georg!

Da es sich um eine orthogonale Transformation handelt, gilt ja $T^\intercal=T^{-1}$. Wenn du von rechts mit $T$ multiplizierst, steht deshalb dann $Q'T=TQ$ da. Angewandt auf einen Vektor bedeutet das also: entweder, du operierst mit Q und drehst danach das Resultat, oder du drehst den Vektor zuerst und operierst dann mit einem "mitgedrehten" Q, dem Q'.

Alternativ kannst du auch sagen: in $TQT^\intercal$ transformierst du/drehst du einen Vektor in eine rotierte Basis (in der $Q$ definiert wurde), anschließend wendest du Q an, was dir wiederum einen Vektor in der rotierten Basis liefert, den du am Ende durch $T$ wieder in die andere Richtung rotierst und einen Vektor in der selben Basis erhälst, mit der du gestartet bist.



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Georg_1992
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.09.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12


Hallo Tirpitz,

vielen vielen lieben Dank! Zunächst habe ich geglaubt es verstanden zu haben, nun bin ich mir doch nicht ganz sicher.

Wo es bei mir noch hakt ist:

Q ist eine 3x3 "Steifigkeitsmatrix"im K-sys1
T ist die Transformationsmatrix von K-Sys1 in K-Sys2
Q'ist Q ins Ksys2 gedreht

Die Dreh-Operation ist wie beschrieben die [Q'] = [T][Q][T]^T
Darin wird die Matrix Q in einem um den Winkel alpha gedrehten Koordinatensystem K_sys2 darsgestellt

Zum Hintergrund: es werden mehrere 3x3 Matrizen Qa, Qb, Qc aus deren "lokalen" Koordinatensysteme Ksys-1a, Ksys-1b, Ksys-1c, ... jeweils in das "globale" Koordinatensystem-2 transformiert über die Matrix [Ta], [Tb], [Tc], ..., um dort aufaddiert werden zu können zu einer Gesamtmatrix.

Anschließend wird im globalen Koordinatensystem gerechnet und es ergibt sich ein 3x1 Ergebnisvektor x im globalen Koordinatensystem. Abschließend wird x in jedes der lokalen Koordinatensysteme zurück transformiert

Das geschieht über:
xa = [Ta]^T*x
xb = [Tb]^T*x
xc = [Tc]^T*x

Wo es bei mir hakt ist, warum bei der Drehung der Matrix von 1-->2
[Q'] = [T][Q][T]^T
ausgeführt wird, bei der "Rückdrehung" des Vektors von 2--> 1 aber lediglich
xa = [Ta]^T*x

Viele Grüße und nochmals und auch schon im Voraus vielen Dank!



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