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Analysis » Integration » Riemann-Integrierbarkeit bei abzählbar-vielen Unstetigkeitsstellen
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Universität/Hochschule Riemann-Integrierbarkeit bei abzählbar-vielen Unstetigkeitsstellen
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-12


Hallo zusammen,

ich habe hier einen Beweis der zeigt, dass eine Funktion mit abzählbar-vielen Unstetigkeitsstellen Riemann-integrierbar ist (ohne die Verwendung weiterer maßtheoretischer Kenntnisse). Der Beweis ist aber irgendwie unvollständig, geht nur über ein paar Zeilen und es fehlen so ziemlich alle Zwischenschritte, sodass mir nicht ganz klar ist was da gemacht wird.

Ich habe mal versucht den Beweis auszuführen bzw. zu Ende zu bringen:

Also sei $f:[a,b]\subset\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ eine beschränkte Funktion, wobei $M:=\sup(f)-\inf(f)$.
Für jeden Punkt $y\in[a,b]$ in dem $f$ stetig ist, habe ich, für ein entsprechendes $\delta(y)>0$, eine Umgebung $ U_{\delta(y)}(y) \text{ mit } \sup(f_{\mid U_{\delta(y)}(y)})-\inf(f_{\mid U_{\delta(y)}(y)})<\frac{\epsilon}{2(b-a)}$ (dies folgt mithilfe der Stetigkeit). Wir definieren aus allen diesen $U_{\delta(y)}(y)$ die Menge $I:=\bigcup\limits_{\underset{f \text{ stetig in }y}{y\in[a,b]}}U_{\delta(y)}(y)$. $I$ ist offen, da es für ein $z\in I$ ein $y$ gibt mit $z\in U_{\delta(y)}(y)$. Da $U_{\delta(y)}(y)$ offen ist und ich somit für ein $z\in U_{\delta(y)}(y)$ eine $U_{\delta'}(z)\subset U_{\delta(y)}(y)$ finde, für die dann natürlich auch $\sup(f_{\mid U_{\delta'}(z)})-\inf(f_{\mid U_{\delta'}(z)})<\frac{\epsilon}{2(b-a)}$ gilt. Weiterhin gilt auch, dass $f$ in jedem Punkt $x\in I$ stetig ist (dies ist mir klar und das führe ich jetzt nicht weiter aus).

Sei nun $\{d_1, d_2, d_3, \cdots\}$ die abzählbare Menge der Unstetigkeitsstellen. Dann konstruiere ich mir für jedes $d_k$ eine offene Menge $D_k:=\left(d_k-\frac{\epsilon}{M2^{2+k}}, d_k+\frac{\epsilon}{M2^{2+k}}\right)$. Ich erhalte nun eine offene Überdeckung $[a,b]\subseteq I \cup \bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}D_k$ und da $[a,b]$ kompakt ist, gibt es auch eine endliche Teilüberdeckung: $[a,b]\subseteq \left(I \cup \bigcup\limits_{k=1}^n D_k\right)$. Wenn ich nun $C:=[a,b]\setminus \bigcup\limits_{k=1}^n D_k$ definiere, so ist $C$ abgeschlossen (als Komplement von $\bigcup\limits_{k=1}^n D_k)$, offensichtlich beschränkt und damit kompakt. Da $C$ keine Unstetigkeitsstellen enthält, gilt $C\subset I$. Damit ist $I$ eine offene Überdeckung von $C$ und damit gibt es wiederum eine endliche Teilüberdeckung von $C$, also $C\subseteq \bigcup\limits_{i=1}^m U_{\delta(y_i)}(y_i)$. Ich habe nun eine endliche Überdeckung von ganz $[a,b]$, nämlich $[a,b]\subseteq\left(\bigcup\limits_{i=1}^m U_{\delta(y_i)}(y_i) \cup \bigcup\limits_{k=1}^n D_k\right)$. Jetzt kann man einfach von den endlich vielen offenen Mengen/Intervallen die Endpunkte hinzunehmen und diese dann als Punkte für meine Partition $P$ verwenden. Da es sich ja um endlich viele Teilmengen bzw. Intervalle handelt, kann man die, ich nenne sie mal, Überschneidungen "rauswerfen". Bspw. würde aus $[1,3]\cup [2,4]$ dann $[1,2]\cup[3,4]$ werden. Ich weiß jetzt nicht wie oder ob man diesen Punkt überhaupt mathematisch weiter ausführen müsste?
Im Endeffekt habe ich nun eine Partition aus $n$-vielen Intervallen, die (mindestens) eine Unstetigkeitsstelle enthalten und $m$-vielen Intervallen auf denen $f$ stetig ist. Für diese Partition betrachte ich nun die Differenz der Riemann'schen Ober-und Untersummen, wobei ich in der Summe die Summanden so umordne, dass in der einen Summe alle Unstetigkeitsstellen sind und in der anderen Summe die stetigen Intervalle:
$$ \sum\limits_{j=1}^{m+n}(M_j-m_j)(t_j-t_{j-1})\underset{\text{der Summanden}}{\underset{\text{Umordnen}}{\leq}} \underbrace{\frac{\epsilon}{2(b-a)}\sum\limits_{j=1}^{m}(t_j-t_{j-1})}_{\text{f ist stetig auf Intervallen}}+\underbrace{M\sum\limits_{k=1}^{n}(t_k-t_{k-1})}_{\text{Intervalle mit Unstetigkeitsstellen}}
\\
\leq \frac{\epsilon}{2(b-a)}(b-a)+M\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\epsilon}{M2^{k+1}}<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}}}_{\text{geometrische Summe}}<\epsilon,\\
M_j:=\sup\{f(x)\mid x\in[t_{j-1},t_j]\},\\
m_j:=\inf\{f(x)\mid x\in[t_{j-1},t_j]\}.
$$ Damit ist $f$ Riemann-integrierbar.

Ist der Beweis so richtig bzw. korrekt von mir nachvollzogen?

viele Grüße
WagW



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-12


Hallo,

Die Vorgehensweise erinnert an das Riemann-Stieltjes Integral. Der Integrand des Riemann Integrals kann nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben. Ich empfehle bei Unklarheiten ein gutes Maßtheorie Buch, am besten das von Elstrodt.

Nachtrag: Eventuell kann man es auch mit dem Lebesgue Integral vergleichen.

Gruß von BigR2020



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12


Hallo BigR2020,
wieso kann das Riemann-Integral nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben? Der Beweis zeigt doch gerade, dass das auch für (unendlich) abzählbar viele Unstetigkeitsstellen klappt. Gesetzt den Fall, dass der Beweis richtig ist, wovon ich zurzeit ausgehe, da ich bisher noch keinen Fehler entdeckt habe.

Maßtheorie kommt frühestens erst nächstes Semester dran, daher wollte ich es bei "Analysis 2"-Kenntnissen lassen.

viele Grüße
WagW



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-12


Nicht jede Integrationsart ist ein Riemann Integral.
Man unterscheidet:

1.) Riemann Integral

Da wird die x Achse unterteilt und Ober und Untersumme müssen konvergieren.
Dieser Wert wird dann Integral genannt. Das gilt für stückweise stetige und monotone Funktionen.

2.) Lebesgue Integral

Da wird die y Achse unterteilt und die Intervalle der x Achse werden mit dem Lebesgue Maß gemessen. Damit ist die Indikatorfunktion von $\mathbb{Q}$ auf dem Intervall [0,1] integrierbar. Mit dem Argument der Überdeckung durch $\frac{\epsilon}{2^{k}}$.

3.) Riemann Stieltjes Integral

Die Vorgehensweise ist analog zum Lebesgue Integral, nur werden dann die Werte der x Achse mit einem Maß gemessen.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-12


2020-09-12 15:53 - WagW in Beitrag No. 2 schreibt:
wieso kann das Riemann-Integral nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben?

Diese Bemerkung von BigR2020 ist schlicht falsch.

In einem anderen Thread hatte dich doch sonnenschein96 schon auf das Lebesguesche Integrabilitätskriterium hingewiesen, das sagt, dass eine beschränkte Funktion genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn ihre Unstetigkeitstellen eine Lebesgue-Nullmenge bilden. Und das ist für eine abzählbare Menge der Fall.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-12


2020-09-12 16:11 - zippy in Beitrag No. 4 schreibt:
das Lebesguesche Integrabilitätskriterium

Richtig, das Lebesgue Integral. Nicht das Riemann Integral aus der Schule.
Auch der Universitätsprofessor nannte es Lebesgue Integral und nicht Riemann Integral.



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12


Hallo zippy,

wie gesagt geht es mir nicht darum Kenntnisse aus der Maßtheorie anzuwenden, sondern nur darum, ob der von mir ausgeführte Beweis korrekt ist, oder ob er ggf. Fehler enthält.

viele Grüße
WagW



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-12


@WagW: Es ist zweifelsohne ein Lebesgue Integral.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-12


2020-09-12 16:51 - BigR2020 in Beitrag No. 5 schreibt:
Richtig, das Lebesgue Integral. Nicht das Riemann Integral aus der Schule.

Auch wenn das Kriterium Lebesgue im Namen trägt, betrifft es doch das Riemannsche Integral. Du hättest nur weiterlesen müssen:

2020-09-12 16:11 - zippy in Beitrag No. 4 schreibt:
dass eine beschränkte Funktion genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn ihre Unstetigkeitstellen eine Lebesgue-Nullmenge bilden.

Ich glaube nicht, dass es wirklich hilfreich ist, wenn du hier Beiträge auf Grundlage deines Halbwissens schreibst.

2020-09-12 17:04 - WagW in Beitrag No. 6 schreibt:
wie gesagt geht es mir nicht darum Kenntnisse aus der Maßtheorie anzuwenden, sondern nur darum, ob der von mir ausgeführte Beweis korrekt ist, oder ob er ggf. Fehler enthält.

Ich wollte nur auf deine Frage eingehen:

2020-09-12 15:53 - WagW in Beitrag No. 2 schreibt:
wieso kann das Riemann-Integral nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben?

Damit endet meine Beteiligung an diesem Thread aber auch schon.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-12


2020-09-12 02:26 - BigR2020 in Beitrag No. 1 schreibt:
Der Integrand des Riemann Integrals kann nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben. Ich empfehle bei Unklarheiten ein gutes Maßtheorie Buch, am besten das von Elstrodt.

Hast du das Buch gelesen? Dort findest du doch auch das klassische Beispiel der Thomaeschen Funktion, welche Riemann-integrierbar ist (Seite 167):



Das steht auch schon in "Anfänger"-Analysis Büchern, wie dem schönen Buch "Understanding Analysis" von Stephen Abbott:




2020-09-12 16:51 - BigR2020 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-09-12 16:11 - zippy in Beitrag No. 4 schreibt:
das Lebesguesche Integrabilitätskriterium

Richtig, das Lebesgue Integral.



"The criterion has nothing to do with the Lebesgue integral."

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-12


@Kuestenkind:

In Meyberg, Vachenauer, Höhere Mathematik 1 steht etwas anderes.
Wie ich schon geschrieben habe, ich meine das Riemann Integral aus der Schule. Da gibt es keine Lebesgue Nullmengen. Es gibt da auch keine Maßtheorie. Ich argumentierte wie der TE es verlangt hat.

Noch etwas zum Lebesgue Integral auf Deutsch.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-09-13


2020-09-12 20:12 - BigR2020 in Beitrag No. 10 schreibt:
@Kuestenkind:

In Meyberg, Vachenauer, Höhere Mathematik 1 steht etwas anderes.

Aha. Und was? Ein Zitat / Bild wäre nett. Steht dort wirklich:

2020-09-12 02:26 - BigR2020 in Beitrag No. 1 schreibt:
Der Integrand des Riemann Integrals kann nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben.

Denn muss es ja ein tolles Buch sein.

2020-09-12 20:12 - BigR2020 in Beitrag No. 10 schreibt:
Wie ich schon geschrieben habe, ich meine das Riemann Integral aus der Schule.

Ich wusste überhaupt nicht, dass es 2 Riemann-Integrale gibt - eins für die Schule und eins für die Uni?! Wieder was gelernt.

Schönen Sonntag!

Küstenkind



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-09-13


2020-09-12 20:12 - BigR2020 in Beitrag No. 10 schreibt:
In Meyberg, Vachenauer, Höhere Mathematik 1 steht etwas anderes.

In diesem Buch steht zu unserem Thema gar nichts.

Das kann es auch nicht, denn da die Autoren für Ingenieure schreiben, gehen sie auf die allgemeine Definition des Riemann-Integrals gar nicht erst ein, sondern betrachten von Anfang an nur Integrale von stückweise stetigen Funktionen (siehe etwa hier).



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-09-13


Habt ihr in der Schule überhaupt etwas zum Integralbegriff gelernt? Ich habe über Integralrechnung maturiert.

Zum Beweis, die Aufgabe die an der Tafel zu rechnen war:

Gegeben sei eine Funktion f: $\mathbb{R}->W_{f}, y=1,5^{x}$
Berechne die Fläche mit Hilfe des Grenzwertes für Ober und Untersumme der Fläche die von f und der x-Achse im Intervall [0;4] begrenzt wird. Überprüfe das Ergebnis durch Anwendung der Integralrechnung und erörtere kurz den Riemannschen Integralberiff.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-09-13


Noch ein Link zur Integralrechnung: Der Hauptsatz der Differential und Integralrechung für stetige Funktionen.



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Chandler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-09-13


2020-09-13 13:21 - BigR2020 in Beitrag No. 14 schreibt:
Noch ein Link zur Integralrechnung: Der Hauptsatz der Differential und Integralrechung für stetige Funktionen.

Was hat das mit dem Thema zu tun?

2020-09-12 16:05 - BigR2020 in Beitrag No. 3 schreibt:
3.) Riemann Stieltjes Integral

Die Vorgehensweise ist analog zum Lebesgue Integral, nur werden dann die Werte der x Achse mit einem Maß gemessen.

Nein. Es gibt das Lebesgue-Stieltjes-Integral und das Riemann-Stieltjes-Integral. Da du Wikipedia so gerne magst, lies dir den Artikel ruhig mal genau durch:

Zum Thema:
2020-09-12 17:04 - WagW in Beitrag No. 6 schreibt:
wie gesagt geht es mir nicht darum Kenntnisse aus der Maßtheorie anzuwenden, sondern nur darum, ob der von mir ausgeführte Beweis korrekt ist, oder ob er ggf. Fehler enthält.

Gibt es bestimmte Stellen im Beweis, wo du Fragen oder Unsicherheiten hast?

Viele Grüße
Chandler



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WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13


Hallo Chandler,

an der Stelle wo ich mir konkret die Partition konstruiere und dann einfach sage, dass die Überscheidungen rausfliegen bin ich mir unsicher, ob man das so machen darf?
Auch die Summen, die ja auf dieser Partition aufbauen und voraussetzen, dass ich zwei Teilmengen an, ich sag mal, Stützstellen der Partition habe, kommen mir so etwas unpräzise formuliert vor.

viele Grüße
WagW



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