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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Zusammenhang linearer Abbildungen mit Matrizen
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Universität/Hochschule J Zusammenhang linearer Abbildungen mit Matrizen
MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-12


Hallo lieber Matheplanet,

Ich habe bald eine wichtige lineare Algebra Klausur (kein Mathestudent deshalb habt Nachsicht auf meine Fähigkeiten bitte 🙄) und habe scheinbar (leider) doch noch ein sehr wichtiges Konzept nicht vollends durchschaut. Ich habe gehofft mir könnte jemand auf die Sprünge helfen.

Es geht um den Zusammenhang zwischen Linearen Abbildungen und deren Darstellung als Matrix. Es gilt ja, dass "Lineare Abbildungen durch die Bilder der Basis festgelegt sind".

Ich habe mir das immer so zusammengereimt:

Beispiel 1:
Ich habe z.B. die Standardbasis $\{e_{1}, e_{2}\} = \{\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}$ des $\mathbb{R}^{2}$.

Sagen wir nun, wir betrachten eine Abbildung $\varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ welche einen Vektor um 90 Grad entgegen den Uhrzeigersinn dreht. Nun gilt ja, da eine Basis jeden Vektor als LK darstellen kann folgendes:

$\varphi(e_{1}) = e_{2}$
$\varphi(e_{2}) = -e_{1}$
$\varphi(v) = \varphi(k_{1}e_{1} + k_{2}e_{2}) = k_{1}\varphi(e_{1}) + k_{2}\varphi(e_{2})$

Also kann die Abbildung auch als eine Matrix A dargestellt werden mit $A \cdot v$ und der Matrix $A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ wobei die Spalten eben einfach die Bilder der Basis sind.Dies Macht auch Sinn, da $A \cdot v = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{pmatrix} = k_{1}\varphi(e_{1}) + k_{2}\varphi(e_{2})$ entspricht.

Beispiel 2:
Jetzt bin ich aber auf eine Aufgabe gestoßen die erfordert, dieses Verständnis zu erweitern. Nämlich nicht nur auf die Bilder gesehen, sondern die Spalten als Skalare für die Basisvektoren zu betrachten. Ich gebe mal ein Beispiel welches mich verwirrt hat und mir gezeigt hat, dass ich noch tiefer graben muss. Betrachten wir nun folgende Basis des $\mathbb{R}^{3}$ mit den Basisvektoren $\{b_{1}, b_{2}, b_{3}\} = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Desweiteren betrachten wir eine lineare Abbildung $F$ die folgendermaßen definiert ist: "Der erste Basisvektor wird mit 2 multipliziert, der zweite mit -1 und der dritte wird festgehalten."

Nun möchte ich besagte Abbildung mit der eben beschriebenen Basis darstellen. Mein erster Gedanke war "Ok, also eben wieder die Bilder der Basis" und ich hätte $F = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\ 6 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ geschrieben. Dies scheint jedoch nicht zu stimmen. Und genau dieser Punkt ist mir noch nicht so ganz klar. Wieso stimmt es nicht? Es muss da zusammenhänge geben die ich noch nicht nach vollziehe, gerade wenn es sich um andere Basen handelt als die Standardbasis. Der richtige Ansatz wäre $F = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Weil z.B. eben die erste Spalte $2 \cdot b_{1} + 0 \cdot b_{2} + 0 \cdot b_{3}$ ist ? Aber irgendwie erkenne ich, im Gegensatz zu dem was ich bei der Standardbasis beschrieben habe noch nicht so den Zusammenhang... ich möchte einfach nur richtig verstehen, was ich hier tue. Ich könnte es sicherlich alles auch einfach hinnehmen und mir merken wie Aufgaben zu lösen sind, aber das fühlt sich nicht gut an. Ich denke es kann daran liegen wie Vektoren nun durch ihre Koordinaten zu betrachten sind, und nicht mehr als, (1, 2) bedeuten in jedem Sinne der Vektor (1, 2).

Vielleicht versteht ja einer von euch wo ich noch verwirrt bin, oder vielleicht verwirre ich euch selbst zu sehr 😄

Jedenfalls macht es sehr viel Spaß auf diesem Forum zu lernen und zu diskutieren. Ich hoffe das war jetzt alles nicht zu viel und ich freue mich auf Konversationen mit euch.

Mit freundlichen Grüßen

Ps: Ein schönes Wochenende an alle



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

einmal zwei kurze Gedanken zu Beginn (es sieht jedenfalls so aus, dass dir beide nicht so ganz klar sind):

- nicht die Matrix ist die lineare Abbildung, sondern die Multiplikation der Matrix mit einem Vektor, also \(\varphi(x)=A\cdot \mathbb{x}\). Diese Multiplikation ist nichts anderes als eine Matrizenmultiplikation, wobei der Spaltenvektor \(\mathbb{x}\) eben eine Matrix mit einer Spalte ist.

- eine solche Gleichung der Form \(A\cdot \mathbb{x}=\mathbb{y}\) mit geeigneten Spaltenvektoren \(\mathbb{x},\mathbb{y}\) ist letztendlich eine abkürzende Schreibweise für ein lineares Gleichungssystem.

Insofern ist es immer gefährlich, bestimmte Phänomene, die man da beobachten kann, wie bspw. der Zusammenhang der Spalten der Abbildungsmatrix mit den Basen von Urbild und Bild, zu verallgemeinern, ohne ihr Zustandekommen geprüft zu haben.


Gruß, Diophant


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\(\endgroup\)


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MePep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-09-12 10:52 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

einmal zwei kurze Gedanken zu Beginn (es sieht jedenfalls so aus, dass dir beide nicht so ganz klar sind):

- nicht die Matrix ist die lineare Abbildung, sondern die Multiplikation der Matrix mit einem Vektor, also \(\varphi(x)=A\cdot \mathbb{x}\). Diese Multiplikation ist nichts anderes als eine Matrizenmultiplikation, wobei der Spaltenvektor \(\mathbb{x}\) eben eine Matrix mit einer Spalte ist.

- eine solche Gleichung der Form \(A\cdot \mathbb{x}=\mathbb{y}\) mit geeigneten Spaltenvektoren \(\mathbb{x},\mathbb{y}\) ist letztendlich eine abkürzende Schreibweise für ein lineares Gleichungssystem.

Insofern ist es immer gefährlich, bestimmte Phänomene, die man da beobachten kann, wie bspw. der Zusammenhang der Spalten der Abbildungsmatrix mit den Basen von Urbild und Bild, zu verallgemeinern, ohne ihr Zustandekommen geprüft zu haben.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]

Ok, vielen dank schon einmal! Und ja, ich möchte weg von dieser Denkweise, wie ich sie am Anfang beschrieben habe, und ein einheitliches Bild über die ganze Sache haben, nicht nur auf die Standard- sondern auf alle Basen bezogen. Wie fange ich damit am besten an?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-12


Hallo,

hm, es ist schwer, darauf eine einfache Antwort zu geben. Vielleicht  entzerrst du das mal ein Stück weit,  indem du dir zunächst einmal die Funktion von Abbildungsmatrizen bzgl. der Standardbasen klarmachst, so wie ich ja weiter oben schon angedeutet habe. Und für Abbildungen zwischen beliebigen Basen dann eben mit der Funktion von Basiswechsel-Matrizen.


Gruß, Diophant



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