Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Zeigen der Kommutativität von ganzen Zahlen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Zeigen der Kommutativität von ganzen Zahlen
nitsuj1001
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.09.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-12


Hi,

eigentlich habe ich eine recht triviale Aufgabe, aber leider bin ich echt schlecht im Beweisen.

Aufgabe:
Zeigen der Kommutativität von ganzen Zahlen, wobei die Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze der natürlichen Zahlen verwendet werden dürfen.

Die Ganzen Zahlen haben wir als Relation auf den Natürlichen Zahlen definiert
[(a,b)] = (a-b)

Addition der ganzen Zahlen: [(a,b)] + [(c,d)] = [(a+c, b+d)]

Und zwar habe ich jetzt 3 Ansätze, die für mich alle Sinn machen und zum richtigen Ergebnis führen. Bin mir aber nicht sicher, ob ich immer im richtien "System" bleibe, und ob ich das zeige, was ich zeigen will...

Zu zeigen: z1 + z2 = z2 + z1 mit z aus Z

Ansatz 1:

[(a,b)] + [(c,d)]

= [(a+c, b+d)]

= [(c+a, d+b)]

Nach Def der Addition => [(c,d)] + [(a,b)]



Ansatz 2:

[(a,b)] + [(c,d)]

= (a-b) + (c-d)

nach Komm. der natürlichen Zahlen => (c-d) + (a-b) => [(c,d)] + [(a,b)]


Ansatz 3:

[(a,b)] + [(c,d)]

= [(a+c, b+d)]

= (a+c) - (b+d)

=(c+a) - (d+b)

=[(c+a, d+b)]

= [(c,d)] + [(a,b)]


Ich finde ja, der 2. und 3. sieht am besten aus. Aber ich kann nicht formulieren ob oder warum das richtig ist.
3 und 1 sieht ähnlich aus, nur mit mehr Zwischenschritten in 3.

Kann mir jemand weiterhelfen? Gerne auch allgemeine Tipps zum beweisen.

Grüße
Justin



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2443
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-12


Ansatz 1 ist doch wunderbar.

Ansatz 2 scheitert daran, dass du im zweiten Schritt keine natürlichen Zahlen ((a-b) ist im Allgemeinen bspw. keine nat. Zahl) addierst.
Daher kannst du auch das entsprechende Kommutativgesetz hier nicht verwenden.

Ansatz 3 wirkt wie eine umständliche Variante des 1. Ansatz.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
nitsuj1001
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.09.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-12


Super, danke.

Genau das hat mich auch in Ansatz 2 verunsichert. Ob ich auf dieser "Ebene" so rechnen kann, wie man es gewöhnt ist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ixx
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 188
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-12


2020-09-12 20:05 - nitsuj1001 im Themenstart schreibt:
Ansatz 3:

[...]

= (a+c) - (b+d)


Ich vermute starj, dass ihr kein minus für nat. Zahlen definiert habt. Insofern ist das, was du hier schreibst, kein wohldefinierter Ausdruck. (Das Paar (a,b) soll zwar für die ganze Zahl [!] a-b stehen, ist aber noch kein Teil eurer gerade zu entwickelnder Theorie...)

Ansatz 1 ist der einzige hier zielführende.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4747
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-17


@Ixx: Nein. Die Schreibweise wird gleich zu Beginn im Post eingeführt.

[(a,b)] = (a-b)

Daher ist Ansatz 3 auch dasselbe wie Ansatz 1, wie DerEinfaeltige schon schreibt.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
nitsuj1001 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nitsuj1001 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]