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Mathematik » Stochastik und Statistik » Erwartungswert Summe von Zufallsvariablen Würfel
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Universität/Hochschule J Erwartungswert Summe von Zufallsvariablen Würfel
Santiago
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-14


Hallo zusammen!

Ich bearbeite zurzeit eine Altklausur zur Prüfungsvorbereitung und möchte hier meinen Lösungsweg zur Korrektur darlegen. Durch Mitschriften weiß ich das es nicht richtig ist, aber ich verstehe nicht warum und wie man es sonst machen sollte 😁

Hier die Aufgabe:

fed-Code einblenden

Für mich ist das schlüssig das man in a) die Wahrscheinlichkeinten je nach Fall ausrechnet, und in b) anwendet das der Erwartungswert linear ist + Unabhängigkeit und dann mithilfe von a) dann auf den Erwartungswert kommt.
Was mich ein wenig verwirrt, ist dass T eine Zufallsvariable ist und die später als Indize in der Summe X1,...,XT auftaucht. Aus dem Grund habe ich t definiert, um das Ergebnis ohne Zufallsvariable anzugeben.

Vielen Dank im Voraus ! 😎




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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-14


2020-09-14 14:59 - Santiago im Themenstart schreibt:
 
Was mich ein wenig verwirrt, ist dass T eine Zufallsvariable ist und die später als Indize in der Summe X1,...,XT auftaucht. Aus dem Grund habe ich t definiert, um das Ergebnis ohne Zufallsvariable anzugeben.
 


Moin, kennst du das Gesetz des iterierten Erwartungswertes?

vg Luis



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Santiago
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-15



Moin, kennst du das Gesetz des iterierten Erwartungswertes?

vg Luis

Hallo Luis!
Ich kannte es nicht unter diesem Namen, aber soweit ich herausfinden konnte kenne ich dies als die "Turm-Eigenschaft".
Der Satz besagt:

fed-Code einblenden
Ich schätze mal, es geht in die Richtung das man hier den Ausdruck evtl. so schreiben sollte:

fed-Code einblenden

Geht das in die richtige Richtung?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-15


2020-09-15 11:42 - Santiago in Beitrag No. 2 schreibt:

 
Geht das in die richtige Richtung?

Ich fuerchte nicht.

Ich empfehle eine mehrstufige Vorgehensweise:

1) Bestimme $\operatorname{E}[S:T=n]$. Das ist eine Funktion $g(n)$ von $n\in\IN$.
2) Betrachte die Zufallsvariable $Y=g(T)$.
3) Bestimme $\operatorname{E}[Y]$. Dieser Erwartungswert stimmt mit $\operatorname{E}[S]$ ueberein.

vg Luis
           



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Santiago
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-15






Ich empfehle eine mehrstufige Vorgehensweise:

1) Bestimme $\operatorname{E}[S:T=n]$. Das ist eine Funktion $g(n)$ von $n\in\IN$.
2) Betrachte die Zufallsvariable $Y=g(T)$.
3) Bestimme $\operatorname{E}[Y]$. Dieser Erwartungswert stimmt mit $\operatorname{E}[S]$ ueberein.

vg Luis
           

Hallo Luis, vielen Dank für deine Hilfe. Ich hab nun folgendes:

fed-Code einblenden

Ich weiß aber schon das dies nicht korrekt ist 🙄
Ich stelle mir das ganze so vor:
Ich interpretiere XT als die erste Zufallsvariable die den Wert 6 annimmt.
Das bedeutet, alle vorherigen nehmen einen Wert von 1-5 an.
Demnach:

fed-Code einblenden

Gibst du mir für den ersten Schritt noch einen Tipp oder erklärst mir, was ich für einen Denkfehler habe?
Sollte ich g(n) kennen, so erhalte ich eine stetige Funktion oder?
Diese kann ich dann integrieren um den Erwartungswert zu bekommen was mir dann das Ergebnis liefert oder?

Dann hätte ich am Ende mithilfe der Turmeigenschaft
E[S] = E[E[S : T=n] bestimmt, oder? 😁




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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-15


Den Nenner in deiner Gleichung $\operatorname{E}[S:T=n]=\frac{\operatorname{E}[S:T=n]}{P[T=n]}$ kann ich nicht nachvollziehen. Mit $\operatorname{E}[S:T=n]=3(n-1)+6=g(n)$ ihn erhaeltst du keinen Widerspruch.

$g(T)$ ist diskret verteilt ...



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Santiago
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-15


2020-09-15 15:42 - luis52 in Beitrag No. 5 schreibt:
 Den Nenner in deiner Gleichung $\operatorname{E}[S:T=n]=\frac{\operatorname{E}[S:T=n]}{P[T=n]}$ kann ich nicht nachvollziehen. Mit $\operatorname{E}[S:T=n]=3(n-1)+6=g(n)$ ihn erhaeltst du keinen Widerspruch.

$g(T)$ ist diskret verteilt ...


Ja du hast absolut recht, das war kompletter Schwachsinn😄😄😄
Ich denke ich hab es nun!

fed-Code einblenden




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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-15


Die dritte Gleichung muss heissen $\sum_{n=1}^\infty(3(n-1)\color{red}{+6})P[T=n]$

Du machst dir das Leben unnoetig schwer:  $\operatorname{E}[Y]=3(\operatorname{E}[T]-1)+6$ ...  

vg Luis



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Santiago
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16


Hallo Luis,

Die dritte Gleichung muss heissen $\sum_{n=1}^\infty(3(n-1)\color{red}{+6})P[T=n]$

Ist dies nicht Äquivalent zu meiner dritten Gleichung?

$\sum_{n=1}^\infty(3(n-1)\color{red}{+6})P[T=n]$ = fed-Code einblenden



Du machst dir das Leben unnoetig schwer: $\operatorname{E}[Y]=3(\operatorname{E}[T]-1)+6$ ...

fed-Code einblenden

Ist das korrekt?
Warum funktioniert mein erster Ansatz nicht, auch wenn er komplizierter ist? Oder habe ich mich schlicht verrechnet?




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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-16


2020-09-16 12:00 - Santiago in Beitrag No. 8 schreibt:
 

fed-Code einblenden

Ist das korrekt?

Ja.

2020-09-16 12:00 - Santiago in Beitrag No. 8 schreibt:
Warum funktioniert mein erster Ansatz nicht, auch wenn er komplizierter ist? Oder habe ich mich schlicht verrechnet?

Das funktioniert, habe nicht hinreichend genau hingesehen, sorry.

vg Luis



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Santiago
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-16


Vielen Dank für deine Hilfe 👍👍🙂



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