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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Tensorprodukt besser verstehen und Vergissfunktor?
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Universität/Hochschule J Tensorprodukt besser verstehen und Vergissfunktor?
Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-09-16

Hallo,
ich hatte vor kurzem ein Problem mit induzierten Darstellungen. Sei \(\rho: G \to \operatorname{GL}(V)\) eine Darstellung. Sei \(H\) eine Untergruppe von \(G\). Dann sei \(\rho' : H \to \operatorname{GL}(V)\) die Restriktion von \(\rho\). Dann kann man ja \(\operatorname{Ind}_H^G(\rho')\) betrachten. Intuitiv dachte ich, es müsste erneut \(\rho \) rauskommen, was nicht so ist. Ich habe mir versucht das aufzuschreiben. Wir benutzen die Darstellung von \(K[G]\)-Modulen, statt mittels Gruppenhomomorphismen.
Mein fehlerhafter Gedanke war dann \(V\) als \(K[G]\)-Modul ist isomorph zu \(V\otimes_{K[H]}K[G] \) als \(K[G]\)-Modul (rechts extension of scalars).

Meine Frage ist nun: \(V\otimes_{K[H]}K[G] \) fasst man ja als \(K[G]\)-Modul auf mittels \(g \odot (v\otimes g') := (v\otimes gg') \). Dann kann ich das ja erneut auf \(K[H]\) einschränken. Ist die neue Skalarmultiplikation eingeschränkt auf \(K[H]\) gleich der ursprünglichen vom Tensorprodukt?
Ich glaube ja, weil es müsste ja folgende Gleichungskette gelten:
\(h \odot (v\otimes g') := (v\otimes hg') = := h\cdot (v\otimes g') \)
Aber ich bin mir nicht sicher, ob man rechts das \(h\) einfach rausziehen darf. An dieser Stelle dachte ich, dass der neue \(K[G]\)-Modul die alte \(K[H]\)-Modul Struktur vergisst, deswegen Vergissfunktor im Titel. Aber dem ist nicht so, oder?


Habt ihr gute Quellen, wo Tensorprodukte wirklich schön detailliert beschrieben werden und oft die Wohldefiniertheit von Definitionen gezeigt wird und Identitäten bzgl. des Tensorprodukt gezeigt werden (etwa kommutiert mit beliebigen(!) direkten Summen und nicht nur endlich viele)?
Mit Wohldefinierheit meine ich etwa die neue Skalarmultiplikation bei der Komplexifizierung, oder die neue Multiplikation auf dem Tensorprodukt von zwei \(K-\)Algebren - bei Wikipedia werden diese nur genannt, ohne auf die Wohldefiniertheit zu achten, da die Definition immer die Darstellung von Tensoren beinhaltet, welche ja nicht eindeutig ist. Für Körper kann ich das noch "leicht" umgehen mittels Basis etc. aber bei beliebigen R-Moduln hört es leider auf.

Ich würde gerne Quellen haben, wo mit den Elementen von Tensorprodukten gearbeitet wird und Quellen mit kategorientheoretischen Methoden, die oft universelle Eigenschaften ausnutzen.
Ich glaube ein Ansatz mit Monoidalen Kategorien wäre wohl am besten geeignet, damit man alle Sätze nur einmal beweisen muss, oder?
Seit dem ich (Ko)Produkte gelernt habe und dort alle möglichen Sätze, muss ich mir keinen Kopf mehr machen in den ganzen Vorlesungen, wo man direkte Summen einführt und viele Sätze dazu nicht zeigt...


Danke!!



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-16

2020-09-16 18:45 - Red_ im Themenstart schreibt:
Habt ihr gute Quellen, wo Tensorprodukte wirklich schön detailliert beschrieben werden und oft die Wohldefiniertheit von Definitionen gezeigt wird und Identitäten bzgl. des Tensorprodukt gezeigt werden (etwa kommutiert mit beliebigen(!) direkten Summen und nicht nur endlich viele)?
Mit Wohldefinierheit meine ich etwa die neue Skalarmultiplikation bei der Komplexifizierung, oder die neue Multiplikation auf dem Tensorprodukt von zwei \(K-\)Algebren - bei Wikipedia werden diese nur genannt, ohne auf die Wohldefiniertheit zu achten, da die Definition immer die Darstellung von Tensoren beinhaltet, welche ja nicht eindeutig ist. Für Körper kann ich das noch "leicht" umgehen mittels Basis etc. aber bei beliebigen R-Moduln hört es leider auf.

Die Wohldefiniertheit ergibt sich immer aus der universellen Eigenschaft. Das heißt, man konstruiert eine R-lineare Abbildung, indem man eine R-bilineare Abbildung angibt, und auf diese dann die universelle Eigenschaft anwendet.

Die von dir genannten Beispiele werden in jedem (nicht zu kurzen) Algebra-Buch erklärt. Wikipedia ist keine Quelle um Algebra zu lernen. Sie werden auch in dem Buch Einführung in die Kategorientheorie (Link) erklärt, wo insbesondere die Nützlichkeit des Yoneda-Lemmas im Vordergrund steht. Eine Art Vorstufe dafür war dieser Artikel.

Ich würde gerne Quellen haben, wo mit den Elementen von Tensorprodukten gearbeitet wird

Wieso?

Ich glaube ein Ansatz mit Monoidalen Kategorien wäre wohl am besten geeignet, damit man alle Sätze nur einmal beweisen muss, oder?

Definitiv. Wenn man zum Beispiel in einer geschlossenen monoidalen Kategorie ist, ist $X \otimes -$ linksadjungiert zu $\mathrm{Hom}(X,-)$ und erhält daher alle Kolimites. Diese Zusammenhänge werden auch in dem genannten Buch (aber auch überall woanders) erklärt.



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-16

Zu deiner Frage mit induzierten Darstellungen: Das hat eigentlich nichts mit Gruppenalgebren zu tun. Nehmen wir besser beliebige Ringe. Und ich arbeite mit Linksmoduln statt mit Rechtsmoduln (du vermischst das auch etwas bei der Reihenfolge der Faktoren im Tensorprodukt, wodurch auch teilweise deine Unsicherheiten entstehen).

Sei $\phi : R \to S$ ein Ringhomomorphismus. Jeder $S$-Modul $M$ hat dann einen zugrunde liegenden $R$-Modul $M|_R$. Die additive Gruppe ist dieselbe, die Skalarmultiplikation ist $r \cdot m := \phi(r) \cdot m$. Wir erhalten einen Funktor $\mathsf{Mod}(S) \to \mathsf{Mod}(R)$, $M \mapsto M|_R$. Er hat einen linksadjungierten Funktor, $\mathsf{Mod}(R) \to \mathsf{Mod}(S)$, $M \mapsto S \otimes_R M$. Die Skalarmultiplikation ist hier charakterisiert durch $s(s' \otimes m) = ss' \otimes m$. Im Falle von Gruppenalgebren nennt man diesen Funktor "Induktion", im allgemeinen Fall nennt man das aber einfach den Skalarerweiterungs-, Ringwechsel- oder Basiswechsel-Funktor.

Die Koeinheit der Adjunktion ist für einen $S$-Modul $M$ gegeben durch eine $S$-lineare Abbildung

$S \otimes_R M|_R \to M,$

nämlich $s \otimes m \mapsto sm$. Deine erste Frage war nun (mehr oder weniger), ob diese ein Isomorphismus ist.

Nein, absolut nicht. Zwar ist sie surjektiv, aber der Kern wird als $S$-Modul von Elementen der Form

$s \otimes m - 1 \otimes sm$

mit $s \in S$, $m \in M$ erzeugt. (Es ist direkt klar, dass diese Elemente im Kern liegen, aber dass sie den Kern erzeugen, liegt an $S \otimes_S M|_R \cong M$ und der Beschreibung von $-\otimes_S -$ als Quotient von $- \otimes_R -$, kurz gesagt).

Man kann sich auch explizite Beispiele anschauen, wo es aus Dimensionsgründen gar keinen Isomorphismus $S \otimes_R M|_R \to M$ geben kann. Sei etwa $R$ ein Körper, $S$ eine $R$-Algebra mit $1<\dim_R(S)<\infty$ (so ein Beispielpaar lässt sich natürlich auch mit Gruppenalgebren realisieren), und sei $M=S$. Dann ist die Koeinheit

$S \otimes_R S \to S,\, s \otimes s' \mapsto ss'$

offensichtlich kein Isomorphismus, und es kann gar keinen Isomorphismus geben, nicht mal der zugrunde liegenden $R$-Moduln, denn $\dim_R(S \otimes_R S)=\dim_R(S)^2 > \dim_R(S)$.

Deine zweite Frage war (mehr oder weniger), ob die $R$-Modul-Struktur von $(S \otimes_R M|_R)|_R$ die gewöhnliche vom Tensorprodukt $S|_R \otimes_R M|_R$ ist. Zu beachten ist hier nun aber, dass das Tensorprodukt von einem $R$-Rechtsmodul mit einem $R$-Linksmodul (hier ist $R$ lediglich ein Ring, nicht unbedingt kommutativ) eine abelsche Gruppe ist! Es gibt also a priori gar keine natürliche $R$-Modul-Struktur auf $S|_R \otimes_R M|_R$, jedenfalls wenn wir hier $S|_R$ lediglich als $R$-Rechtsmodul sehen. Tatsächlich ist aber $S$ (abuse of notation) ein $(R,R)$-Bimodul. Und mit dieser zusätzlichen Links-$R$-Modulstruktur kann man auch auf $S|_R \otimes_R M|_R$ eine Links-$R$-Modulstruktur, kurz also eine $R$-Modulstruktur definieren. Deine Frage ist also schon sinnvoll.

Die Antwort auf diese Frage ist nun "ja". Man definiert die $S$-Modulstruktur auf $S \otimes_R M|_R$ nämlich gerade mittels der $(S,R)$-Bimodulstruktur von $S$, und diese $(S,R)$-Bimodulstruktur ist per Konstruktion eine Fortsetzung der $(R,R)$-Bimodulstruktur von $S$.
 
Die "Rechnung" mit Elementen sieht dann entsprechend so aus:

$\phi(r) (s \otimes m) = \phi(r)s \otimes m = rs \otimes m = r(s \otimes m).$



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17

Danke für die Empfehlung, ich werde es mir anschauen.


Ich würde gerne Quellen haben, wo mit den Elementen von Tensorprodukten gearbeitet wird
Wieso?
Manchmal muss man mit Unterräumen arbeiten und dort wäre es besser die Elemente zu kennen.
Ein anderes Beispiel kenne ich aus der algebraischen Zahlentheorie, wo man explizit die Elemente kennen sollte, weil diese auf dem sogenannten Bruhat-Tits-Baum wirken.
Bzw. man sieht selbst, dass es viele äquivalente Definitionen gibt zur Induktion, und oft die mit den expliziten Elementen genannt und benutzt werden.


(Es ist direkt klar, dass diese Elemente im Kern liegen, aber dass sie den Kern erzeugen, liegt an $S \otimes_S M|_R \cong M$ und der Beschreibung von $-\otimes_S -$ als Quotient von $- \otimes_R -$, kurz gesagt).
Meinst du vielleicht anstatt $S \otimes_S M|_R \cong M$ einfach  $S \otimes_S M \cong M$, da  $M|_R $ ja kein $S$-Modul ist.


Deine zweite Frage war (mehr oder weniger), ob die $R$-Modul-Struktur von $(S \otimes_R M|_R)|_R$ die gewöhnliche vom Tensorprodukt $S|_R \otimes_R M|_R$ ist.
Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist $S\otimes_R M|_R$ derjenige $S$-Modul mit unterliegende abelsche Gruppe von $S|_R \otimes_R M|_R$ mit einer neuen Wirkung von $S$ drauf? Oder warum schreibst du $S|_R \otimes_R M|_R$, da ja $S$ sowieso als $R$-Modul aufgefasst wurde.



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-17

Ja².



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yann Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-22

2020-09-16 23:58 - Triceratops in Beitrag No. 2 schreibt:
Die Koeinheit der Adjunktion ist für einen $S$-Modul $M$ gegeben durch eine $S$-lineare Abbildung

$S \otimes_R M|_R \to M,$

nämlich $s \otimes m \mapsto sm$. Deine erste Frage war nun (mehr oder weniger), ob diese ein Isomorphismus ist.

Nein, absolut nicht. Zwar ist sie surjektiv, aber der Kern wird als $S$-Modul von Elementen der Form

$s \otimes m - 1 \otimes sm$

mit $s \in S$, $m \in M$ erzeugt. (Es ist direkt klar, dass diese Elemente im Kern liegen, aber dass sie den Kern erzeugen, liegt an $S \otimes_S M|_R \cong M$ und der Beschreibung von $-\otimes_S -$ als Quotient von $- \otimes_R -$, kurz gesagt).
Impliziert das jetzt (im Falle, dass $\varphi:R\to S$ kein Isomorphismus von Ringen ist), dass der Kern nicht-trivial ist? Oder kann es Fälle geben, in denen alle Elemente der Form $s\otimes m-1\otimes s.m$ tatsächlich $0$ sind innerhalb $S\otimes_R M$?

edit: Es scheint wohl nicht im Allgemeinen zu stimmen, wie Theorem 4.21 in zeigt.



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-22

@yann: Bitte lies meine Antwort weiter. ;)

Und ja, wenn $R \to S$ ein Epimorphismus (im kategoriellen Sinne) ist, dann ist $S \otimes_R M|_R \to M$ ein Isomorphismus.



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yann Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-23

Das habe ich schon vorher getan. Nach meinem zitierten Teil zeigst du aber doch eine Art Beispiel, wo die Abbildung kein Isomorphismus ist. Ich war ja interessiert, ob sie in gewissen Fällen es nicht doch sein kann.

Das ist auch keine Kritik an deinem Beitrag, die Fragestellung hat mich nur persönlich interessiert.



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