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Mathematik » Strukturen und Algebra » Eindeutigkeit des Funktionsterms bei Nacheinanderausführung von Funktionen im Allgemeinen zeigen?
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Universität/Hochschule Eindeutigkeit des Funktionsterms bei Nacheinanderausführung von Funktionen im Allgemeinen zeigen?
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-18


Hallo,

durch null-, ein- oder mehrmalige Nacheinanderausführung von ein- und/oder mehrstelligen Funktionen in vorgegebener Reihenfolge wird genau ein Funktionsterm erzeugt. Wie und mit welchen Formulierungen kann man das beweisen?

Wie kann man das mit Termalgebra machen?

Vielen vielen Dank.



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-18


Hallo IVmath,

fasse das Niederschreiben einer Funktionsanwendung als Funktion auf, die wohlgeformte Terme in ebensolche überführt. Da Funktionen eindeutige Relationen sind, bekommst du die Eindeutigkeit des erzeugten Ausdrucks leicht.

mfg
thureduehrsen



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18


Ahja, das hört sich gut an. Ich werd' das mal probieren und mich dann wieder melden.
Danke.

(Als Nicht-Mathematiker und Nicht-Informatiker wird auch das für mich natürlich wieder recht mühevoll.)



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-18


Ja, es wird recht kleinteilig und frickelig. Aber tobit09 hat dir hier einen Ansatz geliefert.

mfg
thureduehrsen



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
2020-09-18 22:35 - thureduehrsen in Beitrag No. 3 schreibt:
Ja, es wird recht kleinteilig und frickelig. Aber tobit09 hat dir hier einen Ansatz geliefert.

Damit ich mich überhaupt ausdrücken kann, habe ich jetzt doch mal die verallgemeinerte Komposition (Wikipedia en: Function composition - Multivariate functions) definiert.

Definition:
Seien
$n\in\mathbb{N}_+$,
$G_1,...,G_n$ Mengen,
$F_1\subseteq G_1,...,F_n\subseteq G_n$,
$f\colon F_1\times ...\times F_n\to f(F_1\times ...\times F_n)$,
$g_1\colon G_1\to g_1(G_1),...,g_n\colon G_n\to g_n(G_n)$,
so heißt die Funktion $h=f\circ(g_1,...,g_n)\colon G_1\times ...\times G_n\to h(G_1\times ...\times G_n),(z_1,...,z_n)\mapsto h(z_1,...,z_n)=f(g_1(z_1),...,g_n(z_n))$ verallgemeinerte Komposition von $f$ mit $(g_1,...,g_n)$.

tobit09 definiert die Menge $\mathcal{E}$ aller von $\mathcal{F}$ erzeugten Funktionstripel. In dieser Diskussion hier geht es aber nur um einzelne Terme aus $\mathcal{E}$. Es geht darum, zu zeigen, dass durch in vorgegebener Reihenfolge nacheinander ausgeführte verallgemeinerte Kompositionen genau ein Term in Kompositionsschreibweise erzeugt wird.
Als Kompositionsschreibweise wählen wir die Funktionsschreibweise (Beispiel-Term: $g\circ (f_1,...,f_n)$), denn es gibt ja zwei Funktionswertschreibweisen (Beispiel-Term: $(g\circ (f_1,...,f_n))(z_1,...,z_n)$ und $g(f_1(z_1),...,f_n(z_n))$).

Das mit dem Niederschreiben einer Funktionsanwendung als Funktion, die wohlgeformte Terme in ebensolche überführt, bezog sich doch bestimmt nur auf die Zuordnung eines Terms in Funktionsschreibweise auf einen Term in Funktionswertschreibweise.

Ich habe leider noch keinen Namen für Terme in Kompositionsschreibweise in Funktionsschreibweise (Beipiel-Term: $g\circ (f_1,...,f_n)$).

Wie kann ich die Eindeutigkeit des Konstruktionsverfahrens bezüglich dieser Terme zeigen? Wenn es sich vermeiden lässt, möchte ich nicht über gerichtete Multigraphen gehen müssen.
\(\endgroup\)


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