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Universität/Hochschule Struktur des Tangentialbündels
Vercassivelaunos Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-09-19
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Hallo Matheplanet,

ich versuche gerade, das Tangentialbündel $TM$ einer $k$-dimensionalen, differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ zu verstehen, und zwar wenn möglich ohne formale Tricks wie $TM:=\bigcup_{p\in M}\{p\}\times T_pM$. Die Definitionen, die ich gefunden habe, sind jedoch alle von dieser Art. Deshalb hier meine Gedanken dazu, wie ich mir eine sinnvolle Definition vorstelle. Ich bin sowohl für bessere Definitionen, als auch für Rückmeldung zur Sinnhaftigkeit meiner Definition unten dankbar.

Zunächst einmal wäre es wohl sinnvoll, das Tangentialbündel als ein differenzierbares Vektorbündel $\pi: TM\longrightarrow M$ zu definieren, dessen Faser Dimension $k$ hat. Außerdem sollte jede Faser $\pi^{-1}(p)$ zum Tangentialraum $T_pM$ isomorph sein. Es sollte also zu jedem Punkt $p\in M$ einen Vektorraumisomorphismus $\psi_p:T_pM\longrightarrow\pi^{-1}(p)$ geben, und zwar derart, dass diese Identifikation der Faser mit dem Tangentialraum auf differenzierbare Weise von $p$ abhängt. Ich stelle mir das so vor: Lege ich eine Kurve $\gamma:(a,b)\to M$, welche bezüglich Karten von $M$ stetig differenzierbar ist, in die Mannigfaltigkeit, dann kann ich an jedem Punkt der Kurve den Tangentialvektor $\gamma'(t)$ der Kurve anlegen, und die Zuordnung $(a,b)\to TM,~t\mapsto \psi_{\gamma(t)}(\gamma'(t))$ sollte dann stetig sein.
Dabei ist $\gamma'(t)\in T_{\gamma(t)}M$ als Abbildung
\[\gamma'(t):\left\{\begin{matrix}C^1(M)&\longrightarrow&\mathbb R\\
f&\mapsto&\left.\frac{\d}{\d s}f\circ\gamma(s)\right\vert_{s=t}
\end{matrix}\right.\] zu verstehen.

Kann ich also sagen, das Tangentialbündel ist ein differenzierbares Vektorbündel $\pi:TM\to M$ mit einer Familie $\left(\psi_p\right)_{p\in M}$ von Vektorraumisomorphismen $\psi_p:T_pM\longrightarrow \pi^{-1}(p)$, sodass für jede stetig differenzierbare Kurve $\gamma:(a,b)\to M$ die Kurve
\[\left\{\begin{matrix}(a,b)&\longrightarrow&TM\\
t&\mapsto&\psi_{\gamma(t)}(\gamma'(t))
\end{matrix}\right.\] stetig ist?


Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 04.10.2013, Mitteilungen: 1041
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-20

Vielleicht hilft dir der letzte Satz vom Abschnitt "Topology and smooth structure" des Wikipediaartikels: "Explicitly, the tangent bundle to an $n$-dimensional manifold $M$ may be defined as a rank $n$ vector bundle over $M$ whose transition functions are given by the Jacobian of the associated coordinate transformations."

Deine Idee ist interessant, ich weiß aber nicht, ob sie funktioniert, da können andere sicher nochmal drüberschauen. (Aus dem Bauch heraus würde ich aber sagen, dass deine Definition in dieser Form nicht so gut sein kann, da sie mit stetigen Morphismen arbeitet, die Morphismen in der Kategorie der glatten/differenzierbaren Mannigfaltigkeiten aber glatt/differenzierbar sind.)


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Vercassivelaunos Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.02.2019, Mitteilungen: 1134
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-20
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Hallo Kezer,

man sollte halt Sachen bis zum Ende durchlesen. Dann hätte ich den Satz auch selber finden können. Da muss ich mich erst nochmal genauer reindenken. Danke für den Tipp!

Was meine Konstruktion angeht, den Gedanken hatte ich auch schon im Hinterkopf. Vielleicht wäre es besser gewesen, genauer drauf zu achten, was für eine Mannigfaltigkeit vorliegt. Wenn eine $C^k$-Mannigfaltigkeit vorliegt, dann würde ich intuitiv erwarten, dass das Tangentialbündel eine $C^{k-1}$-Mannigfaltigkeit ist (und eine topologische Mannigfaltigkeit dann gar kein Tangentialbündel mehr hat). Abhilfe würde vielleicht schaffen, $\gamma$ als $C^k$-Kurve zu wählen, und zu verlangen, dass $\gamma'$ eine $C^{k-1}$-Kurve ist. Beziehungsweise bei einer glatten Mannigfaltigkeit eine $C^\infty$-Kurve zu verlangen, sodass auch $\gamma'$ eine $C^\infty$-Kurve ist.
Aber ich lege den Gedanken mal bei Seite, und versuche die Definition über das Differential nachzuvollziehen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-20

Diese Heuristik klingt eigentlich plausibel, vielleicht ist mein Bauchgefühl einfach nicht viel wert(/falsch).


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Teddyboer Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-23 17:45

Aus meiner Sicht ist die Definition des Totalraumes $TM = \cup \{p\}\times T_pM$ aus Sicht der Theorie von Vektorbündeln sehr bequem und intuitiv, weil man im Wesentlichen nur den Tangentialraum definieren muss und dann die Vereinigung lokal trivialisiert.

In der folgenden Alternative konstruiert man $TM$ über die Übergangsfunktionen: Wähle einen Atlas $\{U_i,\phi_i\}_{i\in I}$ von $M$. Dann definiert man auf dem Tripel $M\times I \times \mathbb{R}^n$ die Äquivalenzrelation
$$ (x,i,v)\sim (y,j,w)\text{ g.d.w. } x=y,\quad w = d\phi_{ij}(\phi_i(x))\cdot v,$$ wobei $\phi_{ij}=\phi_j\circ \phi_i$ die Koordinatenwechsel sind. Der Totalraum $TM$ ist dann die Menge aller solcher Äquivalenzklassen.

Deine Idee lehnt sich an der Definition des Paralleltransports an.
Um deine Frage zu beantworten müsstest du eine der schon bestehenden Definitionen des Tangentialbündels hernehmen und dann dann ein Bündel $E_M$ über $M$ nach deiner Vorschrift definieren. Dann schaust du, ob es eine differenzierbare Abbildung $E_m\rightarrow TM$ gibt, die sich faserweise zu einem Diffeomorphismus beschränkt. Ein Kandidat wäre $h(p,v) = \psi_p(v)$, wenn man etwa $TM = \cup \{p\}\times T_pM$ annimmt. Wenn die Familie $(\psi_p)$ glatt von $p\in M$ abhängt, ist $h$ ein Vektorbündelisomorphismus.

So hast du quasi charakterisiert, unter welchen Umständen ein Vektorbündel isomorph zum Tangentialbündel ist, ohne explizit einen Totalraum anzugeben.

Nur so ein paar spontane Gedanken von mir dazu...




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Wally Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 02.11.2004, Mitteilungen: 8931, aus: Dortmund, Old Europe
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-23 18:06
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Mir hat es geholfen, erst Normalenbündel zu verstehen - die kann man bei der \( S^1\) und \( S^2\) noch (fast) schön aufmalen (und auch Schnitte darin).

Nachteil ist natürlich, dass man die Mannigfaltigkeit einbetten muss, aber man hat schon mal ein Bild im Kopf.

Das Tangentialbündel ist dann so etwas wie lokal das orthogonale Komplement.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.04.2016, Mitteilungen: 4989, aus: Berlin
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-28 22:51

Für glatte Mannigfaltigkeiten $M$ kann man zumindest $\Gamma(M,TM)$ (den Raum der Vektorfelder) als den Vektorraum der Derivationen $C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M)$ definieren/charakterisieren; das sind $\IR$-lineare Abbildungen $D$ mit $D(fg) = f D(g) + D(f) g$ für alle $f,g \in C^{\infty}(M)$. Entsprechend kann man den Tangentialraum $T_p(M)$ definieren/charakterisieren als den Vektorraum der Derivationen $C^{\infty}(M) \to \IR$ in dem Punkt $p$, das heißt hier gilt $D(fg) = f(p) D(g) + D(f) g(p)$. Das Stichwort dazu heißt kovariante Ableitung.

Für beliebige offene Teilmengen $U \subseteq M$ ist dann $\Gamma(U,TM)$ natürlich der Vektorraum bzw. $C^{\infty}(U)$-Modul der Derivationen $C^{\infty}(U) \to C^{\infty}(U)$. Dadurch ist der Tangentialraum als lokalfreie Garbe auf $M$ vollständig charakterisiert. Nun kann man die übliche Kategorienäquivalenz zu "geometrisch definierten" Vektorbündeln auf $M$ anwenden, um den Totalraum zu erhalten. Aber das läuft dann eben auf die schon genannten Konstruktionen von $TM$ hinaus. Ich wollte hiermit eigentlich nur sagen, dass man in einer äquivalenten Kategorie $TM$ durchaus global hinschreiben kann.



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