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Elementare Zahlentheorie » Zahlentheoretische Funktionen » Formel zur eulerschen Phi-Funktion beweisen
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Universität/Hochschule J Formel zur eulerschen Phi-Funktion beweisen
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-23

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Hallo,

ich soll $\varphi(n) = n \prod_{p | n, p \text{ prim}} (1-p^{-1})$ beweisen.

Aber ich weiß nicht ganz wie.
Meine Ansätze waren über das n-te Kreisteilungspolynom zu gehen, sein Grad ist ja $\varphi(n)$. Da haben wir nämlich folgende Formel mit der man es rekursiv bestimmen mann:
$X^n - 1 = \prod_{d|n, d > 0} \Phi_d$, wobei $\Phi_d$ das d-te Kreisteilungspolynom sei.

Daher habe ich versucht es induktiv zu machen, aber das hat alles zu nichts geführt.

Kann mir jemand helfen?
Bin ich hier soweit überhauot auf dem richtigen Pfad, oder sollte man es doch lieber anders zeigen?

Danke!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-23


Sieht mir sehr umständlich aus. Mein Vorschlag: Zeige zuerst, dass die Formel für Potenzen von Primzahlen gilt; dann benutze die Primfaktorzerlgung von $n$.



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-23


Ahhh ja klar, war ja eigentlich ziemlich einfach! Danke sehr!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LukasNiessen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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