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Mathematik » Geometrie » Gute Überdeckung einer glatten Mannigfaltigkeit
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Universität/Hochschule Gute Überdeckung einer glatten Mannigfaltigkeit
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-24


Hallo,

als Zwischenschritt eines Theorems begegne ich folgende Behauptung:
"Jede glatte Mannigfaltigkeit (von endlicher Dimension $n$) $M$ besitzt eine gute Überdeckung."

Dabei heißt eine offene Überdeckung $\{U_i\}$ von $M$ gut, falls jeder Schnitt von den endlichen nichtleeren $U_i$ (aus der gegebenen Überdeckung) ($C^\infty$) diffeomorph zu $\IR^n$ ist.

Ich interessiere mich, ob es einen direkten Beweis dafür gibt.

Die Literatur wo ich die Behauptung gelesen habe verwendet die sog. "geodesically convex neighbourhood" (welche stabil unter endlicher Schnitt und zugleich diffeomorph zu $\IR^n$ ist), um die Existenz solcher Überdeckung zu zeigen. Dieser Ansatz ist elegant, allerdings kenne ich Riemmannischen Geometrie nicht und möchte sie deswegen vermeiden.



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tox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-24


Hallo,

vor langer Zeit wollte ich dies auch mal wissen. Ich erinnere mich, dass dies gar nicht so einfach war zu finden. Tatsächlich ist es in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit so, dass jede normale Umgebung eines Punktes geodätisch Konvex ist sobald man den Radius klein genug wählt. Als geleitete Übungsaufgabe ist dies in einem der Bände von Spivak "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry". In welchem weiss ich nicht mehr. Hier ist eben dieses Argument vorgeführt, jedoch ohne allzu viele Details:



Gruss
tox



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-24


Vielleicht hilft auch MO/102161.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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