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Mathematik » Analysis » Formulierung Vermutung über Umkehrfunktionen klar und eindeutig? II
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Universität/Hochschule Formulierung Vermutung über Umkehrfunktionen klar und eindeutig? II
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-26


Hallo,

ist mein Text unten mathematisch und sprachlich korrekt und gut formuliert?
Wie kann er verbessert werden?

Wenn die Vermutung bewiesen werden kann, möchte ich den Text später in einer mathematischen Fachzeitschrift veröffentlichen.

Außerdem wäre es schön, wenn sich ein oder mehrere Mathematiker finden würden, um mit mir gemeinsam an diesem und weiteren Sätzen zu dieser Thematik zu arbeiten und diese zu publizieren. Das dafür notwendige mathematische Instrumentarium ist recht einfach.

Achtung, die Vermutung ist in dieser Allgemeinheit bisher noch unbewiesen.


Definition:
Seien
$n\in\mathbb{N}_+$,
$F_1,...,F_n,G_1,...,G_n$ Mengen,
$f_1\colon F_1\to f_1(F_1),...,f_n\colon F_n\to f_n(F_n)$,
$g\colon G_1\times ...\times G_n\to g(G_1\times ...\times G_n)$,
so heißt die Funktion $h=g\odot(f_1,...,f_n)\colon F_1\times ...\times F_n\to h(F_1\times ...\times F_n),(z_1,...,z_n)\mapsto h(z_1,...,z_n)=g(f_1(z_1),...,f_n(z_n))$ Multikomposition von $g$ mit $f_1,...,f_n$.
Der durch das Symbol $\odot$ dargestellte Operator heißt dann Multikompositionsoperator.


Definition:
Eine endliche verallgemeinerte Komposition der Funktionen $f_1,...,f_n$ ist eine Funktion, die (ausgehend von ihrem Funktionsargument) durch nicht-nullmalige endlichmalige Anwendung der Funktionen $f_1,...,f_n$ erzeugt wird.
Ist $f$ eine endliche verallgemeinerte Komposition der Funktionen $f_1,...,f_n$, so heißt der Term $t$, der $f$ mithilfe von Termen für $f_1,...,f_n$ darstellt und außerdem lediglich Multikompositionsoperatoren, Klammern und/oder Kommas enthält, eine verallgemeinerte Kompositionsdarstellung von $f$.
$f_1,...,f_n$ heißen dann die Glieder der verallgemeinerten Kompositionsdarstellung $t$.


Der Begriff ''endliche verallgemeinerte Komposition'' ist eine Verallgemeinerung des Begriffs ''Komposition'' dahingehend, dass als Operand des Operators nicht nur eine einzige Funktion zugelassen ist sondern ein Tupel von Funktionen, dass die Definitionsbereiche und Wertebereiche der durch den Operator miteinander verknüpften Funktionen nicht überlappen brauchen und dass nicht nur einmalige Anwendung des Operators zugelassen ist sondern endlichmalige Anwendung.


Vermutung:
Seien
$m,n\in\mathbb{N}_+$,
$\mathbb{K}$ ein Körper,
$S$ eine Menge,
$f_1,...,f_m$ und $\phi_1,...,\phi_n$ einstellige über $\mathbb{K}$ transzendente Funktionen in $S$ und/oder ein- oder mehrstellige über $\mathbb{K}$ algebraische Funktionen in $S$,
$S_f=\{f_1,...,f_m\}$, $S_\phi=\{\phi_1,...,\phi_n\}$,
und sei $f$ eine endliche verallgemeinerte Komposition von Elementen von $S_f$.  
Wenn $f$ eine Umkehrfunktion $\phi$ hat, die eine endliche verallgemeinerte Komposition von Elementen von $S_\phi$ ist, dann ist
a) $f=\tilde{f}_1\odot ...\odot \tilde{f}_k$ mit $k\in\mathbb{N_+}$, $\forall i\in\{1,...,k\}\colon \tilde{f}_i\in S_f$ und
b) $\phi=\tilde{\phi}_1\odot ...\odot \tilde{\phi}_l$ mit $l\in\mathbb{N_+}$, $\forall i\in\{1,...,l\}\colon \tilde{\phi}_i\in S_\phi$.


In der Vermutung wird behauptet, dass für eine den Voraussetzungen der Vermutung entsprechende Funktion $f$ eine verallgemeinerte Kompositionsdarstellung mit Gliedern sämtlich aus $M_1$ existiert, in der jedes Glied der Kompositionsdarstellung höchstens einen Vorgänger und höchstens einen Nachfolger hat und dass Analoges für die Umkehrfunktion von $f$ gilt.

Vielen vielen Dank.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-10 16:59


Wird z. B. in der Definition "endliche verallgemeinerte Komposition" das "(ausgehend von ihrem Funktionsargument)" benötigt, oder kann das auch weg?



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