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Universität/Hochschule J Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen
Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-09-28
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Abend zusammen😄,

In Lineare Algebra 1 müssen wir für diese Woche die lineare Abhängigkeit einer Familie im Funktionenraum $Abb(\mathbb{R},\mathbb{R})$ zu zeigen. Konkret sieht die Aufgabe wie folgt aus:

Für jedes $n\in \mathbb{N}$ bezeichnen wir mit $f_{n}$ die Funktion von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$, die durch $f_{n}(x)=cos(nx)$ definiert ist. Ist die Familie $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ in $Abb(\mathbb{R},\mathbb{R})$ linear unabhängig?

Nun habe ich mir zunächst überlegt, dass die Familie $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ unendlich sein muss, da für keine $n,m\in \mathbb{N}$ gelten kann, dass $f_n=f_m$ ist. Eine unendliche Familie ist nach Definition linear unabhängig, wenn es jede endliche Teilfamilie davon ist. Wir wählen also endliche Teilfamilie von $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ aus, welche Kardinalität $r$ hat. Um nun die lineare Unabhängigkeit zu schliessen, müssen wir die folgende Implikation überprüfen:

$\lambda_{1}cos(n_{1}x)+...+\lambda_{r}cos(n_{r}x)\Rightarrow \lambda_{1}=...=\lambda_{r}.$

Nun habe ich mir überlegt, dass wir die Gleichung zwei Mal ableiten können, was uns dann zu folgender Gleichung bringt:

$\lambda_{1}{n_1}^2cos(n_{1}x)+...+\lambda_{r}{n_1}^rcos(n_{r}x)$. Nun könnten wir dies noch wiederholen, bis wir $n$ Gleichungen haben. Doch dann komme ich einfach nicht mehr weiter, also ich bin mir erstens nicht sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin (also einen guten Ansatz gewählt habe). Zweitens weiss ich dann nicht weiter, wie man von diesem linearen Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen nun auf $\lambda_{1}=...=\lambda_{r}$ schliessen kann.

Vielen Dank jetzt schon für eure Hilfe!
\(\endgroup\)


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piquer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-28

Hi Sandrob,

dein Ansatz klingt sehr vielversprechend und hat Ähnlichkeiten mit der Wronski-Determinante. Die Matrix des linearen Gleichungssystems ist als Vandermonte-Matrix bekannt. Zur Lösung der Aufgabe überlege dir, dass du die Anzahl der Ableitungen sehr groß wählen kannst. Was passiert, wenn du mit dem größten der $(n_1,\dots,n_r)$ dividierst und den Grenzwert der Ableitungen gegen unendlich nimmst?

Viele Grüße
Torsten



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Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-28
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo Thorsten,

Hmmm, also von der Vandermonde-Matrix habe ich auch schon gehört. Das Problem ist nur, dass wir Matrizen bis jetzt in der Vorlesung noch gar nicht eingeführt haben. Deswegen wäre es wahrscheinlich komisch, wenn wir diese schon verwenden sollten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Also wenn wir ja den Grenzwert der Ableitungen bilden, werden die jeweiligen $n_{i}:i\in \{1,...,r\}$ unendlich oft mit sich selber potenziert. Daraus müsste folgen, dass also die $\lambda_{i}$ unendlich klein werden müssen, damit die Gleichung mit 0 erfüllt ist. Meine Begründung ist jedoch sehr schwammig und unpräzise, denke ich😄.

Vielen Dank für deine Hilfe!
\(\endgroup\)


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piquer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-28

Dein Argument wird, wie ich oben geschrieben habe, mathematisch streng, wenn du die Gleichung vor dem Grenzwertbilden mit dem größten Wert der $(n_1, \dots, n_r)$ dividierst. Genauer: In einer passenden Potenz.



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Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-28
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Sorry aber ich stehe wohl gerade auf der Leitung😁.

Also wir sprechen beide von der Gleichung:

$\lambda_{1}cos(n_{1}x)+...+\lambda_{r}cos(n_{r}x)=0$, welche wir nach $x$ ableiten möchten oder?
Weil ich bin mir nicht genau sicher, was du meinst mir dem grössten Wert der $(n_1, \dots, n_r)$ zu teilen?
\(\endgroup\)


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piquer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-29

Gehen wir davon aus, dass $n_1 < n_2 < \dots < n_r$ und leiten die Gleichung $2k$-mal ab. Dann erhalten wir

$$ \sum_{i=1}^r \lambda_i (-1)^k n_i^{2 k} \cos(n_i x) = 0
$$
für alle $x \in \IR$. Das lässt sich umschreiben zu

$$ \lambda_r \cos(n_r x) + \sum_{i=1}^{r-1} \lambda_i \left( \frac{n_i}{n_r}\right)^{2 k} \cos(n_i x) = 0.
$$
Was passiert für $k \to \infty$?



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Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-29
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hmmm also so intuitiv hätte ich nun gesagt, dass dann der Faktor $\left( \frac{n_i}{n_r}\right)^{2k}$ zu $0$ wird, da wir $n_r$ so gewählt haben, dass $n_r>n_i$ gilt. Somit bleibt im Grenzwert nur noch $\lambda_r \cos(n_r x)=0$ stehen.

Bin ich auf dem richtigen Weg oder sind meine Argumente falsch?
\(\endgroup\)


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Wally Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-29
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, vielleicht kann man auch induktiv vorgehen.

Annahme: es gibt Zahlen \( a,b\) mit \( a\cos x +b \cos (2x)=0\).
Dann wertet man das für \( x=0\) und \( x=\pi/4\) aus und bestimmt \( a\) und \( b\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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piquer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-09-29
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}} \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2020-09-29 16:02 - Sandrob in Beitrag No. 6 schreibt:
Hmmm also so intuitiv hätte ich nun gesagt, dass dann der Faktor $\left( \frac{n_i}{n_r}\right)^{2k}$
Was lässt dich daran zweifeln?

2020-09-29 16:02 - Sandrob in Beitrag No. 6 schreibt:
Bin ich auf dem richtigen Weg oder sind meine Argumente falsch?

Ja, soweit ist alles richtig.

2020-09-29 17:18 - Wally in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo, vielleicht kann man auch induktiv vorgehen.

Ja, das ist auch eine Möglichkeit. Bei dieser Aufgabe gibt es (je nach Wissensstand) viele andere. Diese Variante ist einleuchtend, ist aber, so denke ich, etwas Schreibarbeit. Zudem ist die Beweisidee des "Aufblähens" in der Funktionalanalysis weit verbreitet. Vielleicht nimmt Sandrob etwas von der Aufgabe für höhere Semester mit.
\(\endgroup\)


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Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
2020-09-29 20:07 - piquer in Beitrag No. 8 schreibt:
Was lässt dich daran zweifeln?
Also daran habe ich nun keine Zweifel mehr, aber was können wir dann genau daraus schliessen?
Weil falls nun dieser Faktor, also $\left( \frac{n_i}{n_r}\right)^{2 k}$, gleich null wird, haben wir doch nun die Gleichung $\lambda_rcos(n_rx)=0$ stehen. Doch daraus können wir doch nur auf $\lambda_r = 0$ schliessen und für die anderen $\lambda_i$ mit $i\neq r$ wissen wir nichts mehr.
\(\endgroup\)


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piquer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-30

Wenn $\lambda_r = 0$, wie sieht dann die ursprüngliche Gleichung aus? Kannst du denselben Trick wiederholen? Und vielleicht daraus einen Induktionsbeweis zimmern?



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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Jetzt geht bei mir ein Licht auf, danke vielmals!

Dieser Trick lässt sich natürlich solange wiederholen, bis wir für alle $\lambda_i$ mit $i\in \{1,\dots r\}$ gefunden haben, dass $\lambda_i=0$ gilt. Nun müssten wir ja Induktion über die Variable $n$ vornehmen und dies würde dann reichen, dass jede beliebige Teilmenge von $\left(f_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ linear unabhängig ist, da diese in einer Teilmenge $\left(f_n\right)_{n\in \{1,\dots ,n\}}$ enthalten ist. Also weisst du was ich mit diesem Argument ausdrücken möchte?

Beim Induktionsschritt müssten wir aber doch dann gar nicht unser Argument mit durch $n_r$ dividieren anwenden, oder nicht?
\(\endgroup\)


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Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Jetzt habe ich es nun glaub ganz begriffen, habe mir über den Induktionsbeweis nochmals Gedanken gemacht und gemerkt, dass wir dann einfach den Induktionsschritt von $n-1$ auf $n$ machen könnten und dann im Induktionsschritt unser Argument perfekt verwenden könnne.

Ich schreib mir das jetzt mal ein bisschen formaler auf, vielen lieben Dank nocheinmal!😄
\(\endgroup\)


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piquer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-01

Achtung: Du darfst keine Induktion über $n$, die Gesamtzahl der $\cos$-Funktionen machen, sondern über $r$.



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Sandrob Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-01
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Also ich habe in meinem Induktionsbeweis nun so argumentiert, dass falls wir zeigen können, dass $\forall r\in \mathbb{N}$ die Teilfamilie $\left(f_r\right)_{r\in \{1,\dots r\}}$ linear unabhängig ist, dann auch die Familie $\left(f_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ linear unabhängig sein muss, da jede andere Teilfamilie, welche nicht von obiger Form ist, in einer dieser Teilfamilien enthalten sein muss und somit auch linear unabhängig ist. Demnach habe ich die Induktion schon gewissermassen über die Anzahl an Cosinus-Funktionen laufen lassen.

Weisst du was ich meine oder habe ich mich zu schwammig ausgedrückt?
\(\endgroup\)


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