Matroids Matheplanet Forum Index
Forumbereich moderiert von: Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Stetigkeit eines Integrals zeigen
Druckversion
Druckversion
Universität/Hochschule J Stetigkeit eines Integrals zeigen
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.04.2020, Mitteilungen: 251, aus: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Themenstart: 2020-09-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo zusammen.

Seien $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ und $K:[a,b] \times [a,b] \to \mathbb{R}$ stetige Funktionen, und $\lambda \in \mathbb{R}$.

Satz. Für ein genügend kleines Intervall mit Länge $|b-a|$ und einen genügend kleinen Parameter $\lambda$ existiert eine eindeutige Lösung $u \in C^0([a,b],\mathbb{R})$ der Fredholmschen Integralgleichung
\[    \begin{align*}
        u(x) = f(x) + \lambda\int_a^b K(x,y)u(y)\mathrm{d}y,\qquad \forall x \in [a,b].
    \end{align*}
\] Dabei genügt die Bedingung
\[
    \begin{align*}
        \lambda |b-a| \cdot \max_{x,y \in [a,b]}|K(x,y)| < 1.
    \end{align*}
\]
Zur Lösung dieser Aufgabe sollen wir den Banachschen Fixpunktsatz anwenden für die Abbildung \[\Phi(u) := f(x) + \lambda\int_a^b K(x,y)u(y)\mathrm{d}y.\]
Ich konnte bislang nachweisen, dass $\Phi$ eine Kontraktion ist, und dass $C^0([a,b],\mathbb{R})$ vollständig ist. Nun fehlt mir, dass die Abbildung Werte in $C^0([a,b],\mathbb{R})$ annimmt. Wie zeige ich dies?
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 02.11.2004, Mitteilungen: 8923, aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-30

Hallo,

wühle mal in deinen alten Analysis-II-Ordnern nach einem Satz über stetige Abhängigkeit von Integralen  mit Parametern.

Viele Grüße

Wally



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.04.2020, Mitteilungen: 251, aus: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Lieber Wally,

Ich habe in meinem Buch (Königsberger - Analysis II) nachgeschaut und den "Differentiationssatz" gefunden, der wiefolgt lautet:

Definition. Sei $f: U \times [a,b] \to \mathbb{C}$ und $t \mapsto f(x,t)$ stetig für jedes $x \in U \subset \mathbb{R}^n$. Dabei sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ kompakt. Definiere dann eine Funktion $F:U \to \mathbb{R}$ mit
\[
x \mapsto F(x) := \int_a^b f(x,t)\mathrm{d}t.
\]

Differentiationssatz.
1) Sei für jedes $t \in [a,b]$ die Abbildung $x \mapsto f(x,t)$ nach $x_\nu$ partiell differenzierbar.
2) Sei die Funktion $(x,t) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_\nu}(x,t)$ stetig auf $U \times [a,b]$.
DANN ist $F$ nach $x_\nu$ stetig partiell differenzierbar, und es gilt
\[
\frac{\partial F}{\partial x_\nu}(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x_\nu}(x,t)\mathrm{d}t.
\]

Ansonsten steht nur noch ein Vertauschbarkeitssatz zu iterierten Integralen im Buch.

Inwiefern hilft mir dies nun für die Aufgabe? Ich muss zugeben, dass ich vor lauter Buchstaben da nicht so ganz durchblicke...🙃
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 02.11.2004, Mitteilungen: 8923, aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-01
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Phoensie,

das ist schon viel zu viel.

Du brauchst ja nur die stetige Abhängigkeit des Integrals von \(x\) und nicht die Differenzierbarkeit.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.04.2020, Mitteilungen: 251, aus: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-01

Ok Wally, habe nun ein Argument zur Stetigkeit in den Notizen entdeckt und dies anwenden können. Danke!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]