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Universität/Hochschule Ansatz der Partialbruchzerlegung
Tintifax Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Themenstart: 2020-10-05

Hallo!

Ich hänge beim Verständnis der Herleitung des Ansatzes der Partialbruchzerlegung wie im ersten  Kommentar von Martin_Infinite in diesem Artikel:
article.php?sid=1637

Dort ist die Rede davon, dass sich ein Bruch \(\frac{a}{b}\) zweier Elemente \(a,b\) eines Rings nach Primfaktorzerlegung von \(b\) darstellen lässt als \[\frac{a}{b} = a \left( \frac{u_1}{p^{e_2}_2 \cdot \ldots \cdot p^{e_n}_n} + \ldots + \frac{u_n}{p^{e_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{e_{n-1}}_{n-1}} \right) \] wobei die \(u_i\) über den erweiterten euklidschen Algorithmus  nach \(u_1 p^{e_1}_1 + \ldots + u_n p^{e_n}_n = 1\) zu bestimmen sind.

Das verstehe ich nicht.
Der erweiterte euklidsche Algorithmus funktioniert doch nur bei zwei Elementen \(p_1 , p_2\) und liefert \[u_1 p_1 + u_2 p_2 = 1\]
Weiters verstehe ich nicht, wenn \(a\) und \(b\) Elemente eines Polynomrings sind, wie man mit dieser Herleitung auf den Ansatz bei mehrfachen Nullstellen kommt, dass Terme der Form \[\frac{1}{(x-\alpha)^n}\] also nach \[\frac{A_1}{x-\alpha} + \frac{A_2}{(x-\alpha)^2} + \ldots + \frac{A_n}{(x-\alpha)^n}\] zerlegt werden müssen.
Klar dass hier der Ansatz anders aussehen muss, da bei nicht teilerfremden Elementen der erweiterte euklidsche Algorithmus nicht funktioniert.
Aber wie sieht man das?

Vielen Dank für jeden Hinweis!
Gruß,
Johannes

Edit:
Ok, vielleicht sollte ich meine Frage anders formulieren: Eigentlich gehts mir gar nicht um die Polynome, vergessen wir die mal und betrachten die PBZ nur bei Brüchen von ganzen Zahlen \(\frac{p}{q}\):
Mir ist klar, dass die PBZ die Umkehrung des Auf-gemeinsamen-Nenner-bringens von Brüchen mit Primzahlen im Nenner ist, dass man also z.B. \(\frac{8}{15}\) zerlegen kann in \(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\), da \[\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}.\] Ich suche nach einem Algorithmus, der die Zähler der Partialbrüche ermittelt, finde aber fast immer nur Ansätze ohne Beweis. Der einzige Algorithmus den ich dazu gefunden habe ist der erweiterte euklidsche Algorithmus. Mit diesem lässt sich z.B. \(\frac{1}{15}\) zerlegen in \(\frac{2}{5} - \frac{1}{3}\), da sich die \(1\) im Zähler von \(\frac{1}{15}\) nach Anwendung des erw. eukl. Alg. auf die Primfaktoren von \(15 = 3 \cdot 5\) als \(1 = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5\) darstellen lässt und damit \[\frac{1}{15} = \frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 5}{15} = \frac{2}{5} - \frac{1}{3}.\] Mein Problem dabei: Der erw. eukl. Alg. liefert bei Primzahlen immer eine Zerlegung der \(1\) und lässt sich daher nur auf Brüche mit \(1\) im Zähler anwenden. Betrachtet man nämlich das Beispiel für \(\frac{8}{15}\) von oben, so liefert der erw. eukl. Alg. für \[\frac{8}{15} = 8 \cdot \frac{1}{15} = 8 \cdot \left(\frac{2}{5} - \frac{1}{3}\right) = \frac{16}{5} - \frac{8}{3},\] also unechte Brüche.
Welcher Algorithmus liefert also immer eine eindeutige PBZ mit echten Brüchen?



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Tintifax Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Niemand? Wenigstens eine Idee?



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Kitaktus Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-29

Du kannst die Darstellung mit unechten Brüchen, hier: 16/5-8/3 in eine mit echten Brüchen umwandeln.
Es gilt 3<16/5<4 und 2<8/3<3. Ziehen wir von beiden Brüchen 3 ab, dann erhalten wir in beiden Fällen echte Brüche (im zweiten Fall mit Vorzeichenwechsel).
Es gilt:
16/5 - 8/3 = (16/5 - 3) - (8/3 - 3) = 1/5 - (-1/3) = 1/5 + 1/3.


Im ersten Beitrag hattest Du noch gefragt, wie man mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus eine Partialbruchzerlegung erhält, wenn mehr als zwei teilerfremde Zahlen im Nenner stehen.

Nehmen wir mal das Beispiel $1/30 = a/2 + b/3 +c/5$.
Wir suchen zunächst eine Lösung für $1/30 = a/2 + d/15$.
Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus finden wir $1=8\cdot 2-1\cdot 15$, also $1/30=8/15-1/2$ (1).
Anschließend zerlegen wir genauso den Bruch $1/15$. Wegen $1=2\cdot3-1\cdot5$ ist $1/15=2/5-1/3$ . Das setzen wir in (1) ein und erhalten:
$1/30=8/15-1/2 = 16/5-8/3-1/2$. Wie oben kann man noch ganze Zahlen herausziehen, wenn man das möchte, also z.B. $1/30=1/5+1/3-1/2$
[Es ginge auch $1/30=1/5-2/3+1/2$.]



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Tintifax Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 17:13

Ah, Danke!

Aber wie findet man mit dieser Methode z.B. die Partialbrüche von \(\frac{3}{4}\)? Wie macht man also das "Auf gemeinsamen Nenner bringen" von \[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\] rückgängig?
Hier funktioniert der erweiterte euklidsche Algorithmus nicht!
\[\frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}.\] Und jetzt? \(ggT(2,2) = 2, \quad 2 = 1 \cdot 2 + 0 \Rightarrow 1 = ?\)



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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-22 17:56

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Gruß Caban



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Tintifax Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 19:47

Jaja, das ist der übliche Ansatz bei einer PBZ.
Ich hatte auf einen Algorihmus gehofft der einem das Ergebnis liefert ohne einen Ansatz, also ohne irgendeine Annahme treffen zu müssen.
So wie eben der erweiterte Euklidsche Algorithmus das tut, solange die Primfaktoren im Nenner jeweils nur einfach vorkommen.
Gibt es so einen Algorithmus bzw. kann man den erw. eukl. Alg. modifizieren, dass er auch bei mehrfach vorkommenden Primfaktoren funktioniert?

Zweck: Ich hätte gerne ein tieferes Verständnis für das Ganze.
Die PBZ von Brüchen von ganzen Zahlen ist i.A. nicht eindeutig, wie man an meinem Eingangsbeispiel sehen kann.
Aber warum ist dann bitte die PBZ einer rationalen Funktion eindeutig?!
Wo ist da der Unterschied? Ich dachte man kann im Polynomring-Quotientenkörper genauso rechnen wie im Quotientenkörper der ganzen Zahlen.
Anscheinend gibt es aber doch Unterschiede.



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