| |
| Autor |
  Funktion mit 3 Parametern |
|
krypto
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 21.11.2012
Mitteilungen: 197
Wohnort: Köln
 |  Themenstart: 2020-10-06
|
Hallo,
die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Gegeben ist ein Quader mit l=8, b=2, h=2 (Volumen=32).
Jetzt wird l und b um kleine Werte $\Delta l $ und $\Delta b $ verändert.
Wie lautet die Änderung für h, wenn das Volumen=32 beibehalten werden soll: ?
1) $-\frac{1}{4} \Delta l - \Delta b$
2) $-\frac{1}{4} \Delta l - \frac{1}{4}\Delta b$
3) $-\Delta l - \frac{1}{4}\Delta b$
4) $-\Delta l - \Delta b$
Wenn ich das mit Zahlen durchspiele komme ich ungefähr auf die Formel von 1), aber das sollte ja irgendwie anders hergeleitet werden können, aber wie ?
Irgendwie mit partiellen Ableitungen ?
Danke im Voraus, krypto
|
 Profil
|
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-06
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
man könnte von der Gleichung
\[(8+\Delta l)(2+\Delta b)(2+\Delta h)=32\]
ausgehen. Diese Gleichung kann man nach \(\Delta h\) auflösen und dann geeignet approximieren, indem man die Änderungen dort wo es geht vernachlässigt. Das geht, weil man von kleinen Änderungen ausgeht.
Damit kann man jedenfalls die Version 1) bestätigen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
krypto
Wenig Aktiv
Dabei seit: 21.11.2012
Mitteilungen: 197
Wohnort: Köln
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-06
|
Hallo Diophant,
danke für Deine Hilfe !
$\Delta h=\frac{32}{(8+\Delta l)(2+\Delta b)}-2$
Wie komme ich von da aus auf 1) ?
Der Kehrwert wäre schöner ;-)
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-06
|
Hallo,
den wichtigsten Teil meines Tipps hast du ja auch noch gar nicht umgesetzt.
Als nächstes ist jetzt ein bisserl Bruchrechnung gefragt um die Differenz aufzulösen. Und dann die Überlegung, wo man solche Änderungsgrößen weglassen darf, und zwar unter der Annahme, dass sie als klein gegenüber den eigentlichen Größen angesehen werden können.
Gruß, Diophant
|
Profil
|
krypto
Wenig Aktiv
Dabei seit: 21.11.2012
Mitteilungen: 197
Wohnort: Köln
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-06
|
Ah, meinst Du so:
$\frac{32}{(...)(...)}-\frac{2(...)(...)}{(...)(...)}$
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-06
|
Hallo,
ja. Wobei die Leerräume noch geeignet aufzufüllen wären. 😎
PS: in welchem Zusammenhang steht die Aufgabe denn? Geht es hier insbesondere um
a) Numerik oder
b) Analysis (implizite Ableitungen)
?
Gruß, Diophant
|
Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4644
 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-06
|
\quoteon(2020-10-06 13:40 - krypto im Themenstart)
Irgendwie mit partiellen Ableitungen ?
\quoteoff
Das geht auch: Du hast eine Funktion $V(\ell,b,h)=\ell\cdot b\cdot h$ und möchtest jetzt $h$ als Funktion von $\ell$ und $b$ so wählen, dass sich $V$ in erster Ordnung nicht ändert:$$
0={\partial\over\partial\ell}\,V\bigl(\ell,b,h(\ell,b)\bigr) =
{\partial V\over\partial\ell}+{\partial V\over\partial h}
{\partial h\over\partial \ell}
\;,\quad
0={\partial\over\partial b}\,V\bigl(\ell,b,h(\ell,b)\bigr) =
{\partial V\over\partial b}+{\partial V\over\partial h}
{\partial h\over\partial b} \;.
$$Daraus folgt$$
-{\partial h\over\partial \ell}=\left.{\partial V\over\partial\ell}
\middle/{\partial V\over\partial h}\right.=
{b\cdot h\over\ell\cdot b}={h\over\ell}=\frac14
\;,\quad
-{\partial h\over\partial b}=\left.{\partial V\over\partial b}
\middle/{\partial V\over\partial h}\right.=
{\ell\cdot h\over\ell\cdot b}={h\over b}=1 \;.$$
--zippy
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.5 begonnen.]
|
Profil
|
krypto
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 21.11.2012
Mitteilungen: 197
Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-06
|
Sorry, ich wurde unterbrochen.
Die Aufgabe ist eine Analysis-Aufgabe.
Vielen Dank euch beiden für die tolle Hilfe !!
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-06
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
dann der Vollständigkeit halber meine Überlegung mal noch komplett.
Aus
\[(8+\Delta \ell)(2+\Delta b)(2+\Delta h)=32\]
bekommt man nach einigen Umformungsschritten:
\[\Delta h=\frac{-16\Delta b-4\Delta \ell+2\Delta b\Delta \ell}{(8+\Delta \ell)(2+\Delta b)}\]
Jetzt wird abgeschätzt. Die Änderungen \(\Delta b\) und \(\Delta \ell\) sind klein gegenüber den ursprünglichen Größen. Daher kann man sie im Nenner weglassen.
Das Produkt \(\Delta b\Delta \ell\) ist wiederum klein gegenüber den Änderungen und kann daher im Zähler weggelassen werden. Insgesamt bekommt man also:
\[\Delta h=\frac{-16\Delta b-4\Delta \ell+2\Delta b\Delta \ell}{(8+\Delta \ell)(2+\Delta b)}\approx \frac{-16\Delta b-4\Delta \ell}{16}=-\Delta b-\frac{1}{4}\Delta \ell\]
Gedacht war es aber dann so wie in #6 gezeigt.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
|
Profil
|
krypto
Wenig Aktiv
Dabei seit: 21.11.2012
Mitteilungen: 197
Wohnort: Köln
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-06
|
Hallo Diophant,
ganz vielen lieben Dank !
Ich habe offensichtlich das falsche Forum benutzt, tut mir leid.
LG
|
Profil
|
krypto hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
krypto hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | krypto wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
