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Universität/Hochschule J Körpermonomorphismen
Drumbene91 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Themenstart: 2020-10-17

Hallo zusammen, ich hätte eine Verständnisfrage zum Thema Körpermonomorphismen, in unserem Skript steht:
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LG



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-17

Die $\alpha_i$ bilden keine $K$-Basis. Schaue dir Beispiele an.

Was du aber aus der linearen Algebra weist, kannst du hier analog auch für Körper beweisen. Beachte, dass jedes Element von $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ ein Polynom mit Koeffizienten aus $K$ und Variablen $\alpha_1,\dotsc,\alpha_n$ ist. Aber $K$-Homomorphismen sind gerade so definiert, dass sie Polynome erhalten. Du kannst den Beweis mechanisch hinschreiben (siehe hier, was ich damit meine).



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Drumbene91 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17


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Hattest du es so gemeint ?
LG



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-17

Das geht so nicht. Was ist denn $\alpha$? Ein Polynom in einer Variablen reicht nicht. Die Elemente von $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ haben die Form

$\displaystyle \sum_{k_1,\dotsc,k_n \geq 0} u_{k_1,\dotsc,k_n} \cdot \alpha_1^{k_1} \cdots \alpha_n^{k_n}$

mit $u_{k_1,\dotsc,k_n} \in K$. Nun starte damit den Beweis.

Dein Beweis kann auch nicht nur darin bestehen, die $K$-Linearität auszunutzen. Du musst benutzen, dass es sich um einen Körperhomomorphismus handelt. Insbesondere ist die Multiplikativität auszunutzen.



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Drumbene91 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18

Ja das macht so keinen Sinn, ich versuche es erneut, schreibe es sauber auf und melde mich nochmals!
danke dir!



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-18

Kein Problem.

Übrigens habe ich oben bereits eine Vereinfachung vorgenommen, die nur erlaubt ist, weil die Erweiterung endlich und damit die $\alpha_i$ algebraisch über $K$ sind. Denn im allgemeinen Fall besteht $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ aus Brüchen von Polynomen wie oben. Aber weil Körperhomomorphismen Brüche erhalten (ich meine damit die Gleichung $\varphi(x/y) = \varphi(x)/\varphi(y)$), ist dieser allgemeine Fall nicht unbedingt schwieriger zu beweisen. Wenn die $\alpha_i$ wie in deinem Fall algebraisch sind, hat man die Gleichung $K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n) = K[\alpha_1,\dotsc,\alpha_n]$, und $K[\alpha_1,\dotsc,\alpha_n]$ (der kleinste Unterring, der $K$ und die $\alpha_i$ enthält) besteht einfach aus Polynomen.



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Drumbene91 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

Hallo, ich habe es noch einmal versucht, hoffe es passt so!
LG

 $$\text{ Sei f } \in K(\alpha_1,...,\alpha_n).  \text {Dann ist f von der Form  } $$
$$f= \sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n}\text{ mit }  u_{k_1,...,k_n} \in K \text { und } k_1,...,k_n \in \mathbb{N}.$$
$$ \text{ Seien nun } \phi_1 \text{ und } \phi_2 \text{ zwei Körperhomomorphismen von }$$ $$L = K(\alpha_1,..., \alpha_n) \rightarrow M \ \text{mit der Eigenschaft }\phi_1 \mid_K = id_K \text{ und } \phi_2 \mid_ K = id_K$$ $$\text{ Außerdem gelte } \phi_1(\alpha_i)=\phi_2(\alpha_i)\text{  } \forall i=1,...,n$$
$$\text{ Dann gilt: }$$ $$ \phi_1 (f)=  \phi_1(\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}\phi_1(u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=$$
$$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}\phi_1(u_{k_1,...,k_n})\phi_1(\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_1(\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})$$
$$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_1(\alpha_1^{k_1})...\phi_1(\alpha_n^{k_n})=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_1(\alpha_1)^{k_1}...\phi_1(\alpha_n)^{k_n}=$$
$$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_2(\alpha_1)^{k_1}...\phi_2(\alpha_n)^{k_n}=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_2(\alpha_1^{k_1})...\phi_2(\alpha_n^{k_n})$$
$$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\phi_2(\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}\phi_2(u_{k_1,...,k_n})\phi_2(\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})=$$
$$\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}\phi_2(u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})= \phi_2(\sum \limits_{k_1,...,k_n\geq0}^{}u_{k_1,...,k_n}\alpha_1^{k_1}...\alpha_n^{k_n})= \phi_2 $$
$$ \Longrightarrow \phi_1 =\phi_2 $$



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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

grade gesehen: in er vorletzten Zeile sollte natürlich \phi_2(f) stehen!



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-25

Es fehlen ein paar $=$

Ansonsten ist es richtig. 👍



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Drumbene91 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

Alles klar, Danke :)



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