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Universität/Hochschule J Existenz vertauschbarer Operatoren
MatheStein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-17 11:07


Hallo zusammen,

kennt jemand zwei Operatoren <math>\oplus_1</math> und <math>\oplus_2</math> (wie <math>+,-,*,...</math> )die ungleich sind (dh <math>\oplus_1\neq\oplus_2</math>) und für die gilt : <math>(a\oplus_1 b) \ \oplus_2 \  (c\oplus_1 d) \ = \(a\oplus_2 c) \ \oplus_1 \  (b\oplus_2 d)</math>?

Danke im Voraus!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-17 11:32


2020-10-17 11:07 - MatheStein im Themenstart schreibt:
<math>(a\oplus_1 b) \ \oplus_2 \  (c\oplus_1 d) \ = \(a\oplus_2 b) \ \oplus_1 \  (c\oplus_2 d)</math>?

Ohne weitere Voraussetzungen ist es leicht, solche Operatoren zu finden. Nimm etwa $\oplus_1\colon\mathbb Z^2\to\mathbb Z$, $(x,y)\mapsto x+y$ und $\oplus_2\colon\mathbb Z^2\to\mathbb Z$, $(x,y)\mapsto 0$.



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MatheStein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17 11:40


Danke für deine Hilfe zippy.

Eine weitere Voraussetzung sollte sein, dass die Operatoren nicht konstant sind. Fällt dir dazu auch etwas ein?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-17 11:50


2020-10-17 11:40 - MatheStein in Beitrag No. 2 schreibt:
Eine weitere Voraussetzung sollte sein, dass die Operatoren nicht konstant sind. Fällt dir dazu auch etwas ein?

$\oplus_1\colon\mathbb Z^2\to\mathbb Z$, $(x,y)\mapsto -\bigl|x+y-|x+y|\bigr|$ und $\oplus_2\colon\mathbb Z^2\to\mathbb Z$, $(x,y)\mapsto (x+y)\bmod 2$



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-17 12:04


$\oplus_1: (a,b) \mapsto a$
$\oplus_2: (a,b) \mapsto a+1$

Vertauschbar und nicht konstant.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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MatheStein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17 13:51


Danke euch beiden.

@zippy: kann es sein, dass bei deinem Bsp immer 0 rauskommt?

@DerEinfaeltige: eine weitere Einschränkungen hatte ich auch vergessen: Identität sollten die Operatoren auch nicht sein und mit beiden Operanden sollte etwas geschehen.

Ich such nach "spannenden" Operatoren $\oplus_1$ und $\oplus_2$, wobei ich das "spannend" gerade nicht genau mathematisch definieren kann -- sorry. Ich hoffe durch eure Hilfen eine bessere Sicht auf das Ganze zu bekommen.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-17 13:54


2020-10-17 13:51 - MatheStein in Beitrag No. 5 schreibt:
@zippy: kann es sein, dass bei deinem Bsp immer 0 rauskommt?

Ja.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-17 14:22


@MatheStein: Zum Begriff "vertauschbar": zwei binäre Operatoren $f,g$ vertauschen per Definition (die in der universellen Algebra üblich ist), wenn $f(g(a,b),g(c,d)) = g(f(a,c),f(b,d))$ gilt. Du betrachtest hier allerdings eine andere Gleichung, nämlich $f(g(a,b),g(c,d)) = g(f(a,b),f(c,d))$. Natürlich gibt es zahllose Beispiele. Es ist aber etwas mühselig, hier Beispiele zu posten, wenn du nach jedem Beispiel erneute weitere Einschränkungen hinzufügst. Die zuletzt genannten Eigenschaften sind zudem sehr unpräzise ("mit beiden Operanden sollte etwas geschehen", "Identität sollten die Operatoren auch nicht sein" (meinst du Projektionen? Aber warum sollte man hier einzelne Operatoren ausschließen, und wie lange möchtest du das machen?), "spannenden Operatoren"). Du hast auch die Grundmenge nicht angegeben. Bitte formuliere das mathematische Problem präzise, damit auch gute Antworten gegeben werden können. Falls das nicht geht: Ich vermute, dass du an etwas anderem arbeitest, und sich daraus diese (derzeit noch unpräzise) Frage ergeben hat. Teile mit uns doch gerne, woran du arbeitest. Auch dann können bessere Antworten gegeben werden.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-17 14:39


Also binär gibt es genau die Varianten mit konstanten Operatoren und die zwei Projektionen.

Ternär gibt es zudem eine ganze Klasse an Paaren, die selbst nicht konstant sind, deren Verknüpfung im Sinne der Fragestellung jedoch konstant ist.


Nichttriviale Beispiele finden sich jedoch auch:

opA = {(0, 0): 0, (0, 1): 0, (0, 2): 0, (1, 0): 0, (1, 1): 0, (1, 2): 0, (2, 0): 0, (2, 1): 0, (2, 2): 1}

opB = {(0, 0): 0, (0, 1): 0, (0, 2): 0, (1, 0): 0, (1, 1): 1, (1, 2): 0, (2, 0): 0, (2, 1): 0, (2, 2): 2}

Das wäre das erste relativ interessante Beispiel zweier vertauschbarer Operatoren, das ich mit einem naiven Skript finden kann.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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MatheStein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17 15:40


Ich versuche mal die Motivation für meine Frage (für eine einfachen, 2-Dimensionalen Fall) aufzuschreiben.

Das Problem ist durch die Informatik motiviert. Konkret haben wir eine Funktion <math>FUNC</math> implementiert, die zwei Operatoren <math>\oplus_1</math> und <math>\oplus_2</math> entgegennimmt, sowie eine beliebige MxN Matrix A und dann folgendes berechnet:

<math>FUNC(\oplus_1,\oplus_2)( A ) = {\oplus_1}_{i\le M}{\oplus_2}_{j\le N} A_{i,j}</math>

Da wir <math>FUNC</math> intern effizient parallel berechnen wollen, soll zudem für $\oplus_1$ und $\oplus_2$ immer gelten (nötig für die Korrektheit unserer Implementierung):

<math>FUNC(\oplus_1,\oplus_2)( A ) = FUNC(\oplus_1,\oplus_2)( A_1 ) \oplus_1 FUNC(\oplus_1,\oplus_2)( A_2 )</math>

sowie

<math>FUNC(\oplus_1,\oplus_2)( A ) = FUNC(\oplus_1,\oplus_2)( A"_1 ) \oplus_2 FUNC(\oplus_1,\oplus_2)( A"_2 )</math>

<math>A_1</math> und <math>A_2</math> sind hier Teilmatrizen der Größe <math>MxN_1</math> bzw. <math>MxN_2</math>, <math>N_1+N_2=N</math>, d.h. <math>A_1</math> und <math>A_2</math> ergeben sich, wenn man die ursprüngliche Matrix <math>A</math> senkrecht, an einer beliebigen Stelle, in zwei Stücke aufteilt.

Ähnlich sollen <math>A"_1</math> und <math>A"_2</math> Teilmatrizen von <math>A</math> der Größe <math>M_1xN</math> bzw. <math>M_2xN</math> sein, die sich ergeben, wenn man A an einer beliebigen Stelle horizontal in zwei Stücke aufteilt.

Für <math>FUNC(+,+)</math> gilt dann z.B., dass man damit die Summe aller Elemente einer Matrix <math>A</math> berechnen kann, und für <math>FUNC(*,*)</math> das man damit das Produkt aller Matrixelemente berechnet, etc.

Die Frage ist nun, ob Operatoren <math>\oplus_1</math> und <math>\oplus_2</math> existieren, die nicht beide gleich sind (also zB nicht <math>\oplus_1=\oplus_2=+</math> bzw <math>\oplus_1=\oplus_2=*</math>, wie in den Beispiele oben), mit denen man etwas schönes ausrechnen kann. Diese Frage ist gerade bei uns aufgekommen, als wir versucht haben, die Ausdruckskraft von <math>FUNC</math> zu analysieren.


Wir sind für jegliche Hilfe sehr dankbar!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-17 17:59


@Triceratops: $a$ und $b$ passen auf den beiden Seite von $f(g(a,b),g(c,d))=g(f(a,c),f(a,d))$ nicht zusammen.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-17 18:41


@zippy: Danke, korrigiert.



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MatheStein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17 18:44


Ich sehe gerade, dass ich in meinem ersten Beitrag einen Fehler hatte (jetzt korrigiert). Ich meinte genau den Vertauschbarkeitsbegriff den Triceratops aus der universellen Algebra zitiert.

@Triceratops: Kannst du mich auf einen Wiki-Artikel o.ä. verweisen, wo ich mehr zu der Thematik "Vertauschbarkeitsbegriff (aus der universellen Algebra)" lesen kann?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-17 19:13


Kein Wikipedia und nicht die besten Referenzen, aber
 
nlab
Durov (Kapitel 5)
 
Allgemeiner kommutieren zwei Verknüpfungen $f : X^n \to X$ und $g : X^m \to X$ miteinander, wenn für jede $n \times m$-Matrix $(x_{ij})$ über $X$ es egal ist, wenn man erst mit $f$ die Spalten "verrechnet" und auf die $m$ Ergebnisse $g$ anwendet, oder erst mit $g$ die Zeilen "verrechnet" und auf die $n$ Ergebnisse $f$ anwendet. Also formal

$g(f(x_{11},\dotsc,x_{n1}),\dotsc,f(x_{1m},\dotsc,x_{nm})) = f(g(x_{11},\dotsc,x_{1m}),\dotsc,g(x_{n1},\dotsc,x_{nm}))$
 
Hier noch ein konkretes Beispiel für zwei binäre Operatoren auf $\IR$, die miteinander kommutieren:

$(a+b)-(c+d) = (a-c) + (b-d)$

Allgemeiner geht natürlich auch für feste $u,v,p,q \in \IR$ (das vorige Beispiel ist $u=v=p=1$, $q=-1$)

$p(ua + vb) + q(uc + vd) = u(pa + qc) + v(pb + qd).$



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MatheStein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17 19:46


Vielen Dank Triceratops, das hilft sehr!

Angenommen man hat eine Funktion <math>h</math> auf 2D-Matrizen <math>A</math> der Größe <math>M\times N</math>, und für <math>h</math> existieren Operatoren <math>\oplus_1</math> und <math>\oplus_2</math>, sodass

<math>h(A) = h(A_1) \oplus_1 h(A_2)</math>

sowie

<math>h(A) = h(A"_1) \oplus_2 h(A"_2)</math>


Hier sind <math>A_1</math> und <math>A_2</math> beliebige Teilmatrizen von <math>A</math> der Größe <math>M\times N_1</math> bzw. <math>M\times N_2</math>, <math>N_1+N_2=N</math>, d.h. <math>A_1</math> und <math>A_2</math> ergeben sich, wenn man die ursprüngliche Matrix <math>A</math> senkrecht, an einer beliebigen(!) Stelle, in zwei Stücke aufteilt. Ähnlich sind <math>A"_1</math> und <math>A"_2</math> Teilmatrizen von <math>A</math> der Größe <math>M_1\times N</math> bzw. <math>M_2\times N</math>, <math>M=M_1+M_2</math>, die sich ergeben, wenn man A an einer beliebigen(!) Stelle horizontal in zwei Stücke aufteilt.

Hier gilt dann, dass <math>\oplus_1</math> und <math>\oplus_2</math> kommutierende Verknüpfungen sind auf der Bildmenge von <math>h</math>, oder?

Was ich mich jetzt insbesondere frage -- gilt auch die Rückrichtung, d.h. gilt für die Funktion

<math>h(A) := {\oplus_2}_{\{i<=M\}}{\oplus_1}_{\{j<=N\}} A_{i,j}</math>

dass

<math>h(A) = h(A_1) \oplus_1 h(A_2)</math>

sowie

<math>h(A) = h(A"_1) \oplus_2 h(A"_2)</math>

für beliebige Teilmatritzen <math>A_1, A_2, A"_1, A"_2</math> wie oben definiert?


Dein Beispiel "<math>(a+b)-(c+d)=(a-c)+(b-d)</math>" scheint ein Gegenbeispiel zu sein, da "<math>-</math>" nicht assoziativ ist. Was ist aber, wenn man sich auf assoziative-Operatoren einschränkt? Fällt dir z.B. noch ein Beispiel für kommutierende Verknüpfungen ein, die beide assoziative sind und nicht identisch (d.h. nicht beiden z.b. "<math>+</math>")?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-10-17 20:03


2020-10-17 19:46 - MatheStein in Beitrag No. 14 schreibt:
Fällt dir z.B. noch ein Beispiel für kommutierende Verknüpfungen ein, die beide assoziative sind und nicht identisch

$f(a,b) := a+b$ und $g(c,d) := 0$ (oder $g(c,d) := c$, oder $g(c,d) := d$) erfüllen diese Voraussetzungen. Dass $f,g$ kommutieren, ist ein Spezialfall aus der noch ergänzten Beobachtung aus meinem vorigen Post. Aber vermutlich findest du $g$ nicht "spannend". Genauer gesagt faktorisiert $g$ über eine der beiden Projektionen (hängt also nur von einer Variablen ab). Die Frage könnte also lauten: Gibt es nicht-identische miteinander kommutierende binäre assoziative Verknüpfungen auf $\IR$ (oder welche Grundmenge interessiert dich?), die beide nicht über eine der Projektionen faktorisieren? Ich bin mir sicher, dass es so etwas gibt. Vermutlich müssen aber $f,g$ unstetig sein.



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MatheStein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18 02:41


Vielen Dank. Ich glaube jetzt ein gutes Beispiel gefunden zu haben:

Grundmenge <math>\IR^*=\{\IR^n \ |\n\in\IN \}</math> und <math>\oplus_1( [x_1,\dotsc,x_n], [y_1,\dotsc,y_m] ) = [x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_1, y_1,\dotsc,y_m]</math> und <math>\oplus_2( [x_1,\dotsc,x_n], [y_1,\dotsc,y_n] ) = [x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n]</math>



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