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Mathematik » Analysis » Gleichung mit Logarithmus, Produkt, Summe
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Universität/Hochschule Gleichung mit Logarithmus, Produkt, Summe
AlexanderS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-18 05:09


Hallo,
wie genau hat man diese Gleichung umgeformt
$ln(\prod\limits_{i = 1}^{n}\frac{\Lambda^x_i}{x_i!}) = \sum\limits_{i = 1}^{n}(x_i\cdot ln (\lambda) - ln(x_i!))$

Speziell interessiert mich, wie man von dem Produkt auf due Summe gekommen ist.

Könnte dies so passen?
$$\ln\left(\prod_{i = 1}^n\frac{\Lambda^{x_i}}{x_i!}\right)
= ln \left(\frac{\Lambda^{x_1}}{x_1!}\right) + ... + ln \left(\frac{\Lambda^{x_n}}{x_n!}\right) = \sum_{i = 1}^nln \left(\frac{\Lambda^{x_i}}{x_i!}\right) = \sum_{i = 1}^nln (\Lambda^{x_i}) - ln(x_i!) = \sum\limits_{i = 1}^{n}(x_i\cdot \ln (\Lambda) - \ln(x_i!))$$



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-18 07:12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

da wurden ausschließlich die Logarithmengesetze

\[\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\]
,

\[\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\]
sowie

\[\ln\left(a^b\right)=b\cdot\ln(a)\]
benutzt (sofern ich nichts übersehen habe).


Daher ist deine erste Gleichheit falsch: das muss auf der rechten Seite schon eine Summe sein, kein Produkt mehr.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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AlexanderS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18 08:24


Hallo,
ich habe es geändert, meinst du es so?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-18 09:08


Hallo,

prinzipiell passt es jetzt.

Ich würde auch bei der zweitletzten Summe das Summenglied in Klammern setzen. Und die ausgeschriebene Summe nach dem ersten Gleichheitszeichen ist eigentlich unnötig.

Es ist besser, eine geänderte Rechnung direkt in bzw. mit einer erneuten Nachfrage zu präsentieren. Wenn man so wie hier die Fehlerbehebungen immer nur im Themenstart vornimmt, ist der Thread für spätere Leser nicht mehr nachvollziehbar.


Gruß, Diophant



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-18 16:59

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Im Startpost sind in der ersten Gleichung Fehler:
• links muß es im Zähler $\Lambda^{x_i}$ sein
• rechts $\Lambda$ statt $\lambda$
Im ganzen Post steht mehrfach $ln$ statt $\ln$.
Kein Fehler, nur ein Hinweis:
Die Fakultät $\ln(x_i!)$ hätte man noch als Summe schreiben können: $\sum_{k=1}^{x_i} \ln(k)$
Damit wären alle Produkte aus der Startgleichung eliminiert (vielleicht war das aber auch gar nicht das Ziel).

Gruß vom ¼


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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