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Schulmathematik » Trigonometrie » Dreieckberechnung aus den drei Höhen
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Schule Dreieckberechnung aus den drei Höhen
ebikerni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-18 15:12


hallo,

in einem Dreieck sind die höhen  ha=6  hb=8  und  hc=12  gegeben und
es müssen ca 18 elemente des dreiecks berechnet werden.
wie lauten die ergebnisse ( seiten,winkel  usw. )  



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-18 15:36


Hallo und willkommen hier im Forum!

Das ist keine ganz einfache Aufgabenstellung, das vorneweg.

Grundsätzlich ist es aber so, dass hier auf dem Matheplanet keine fertigen Lösungen gegeben werden. Von daher solltest du deine bisherigen Überlegungen stets auch mit angeben, wenn du eine Frage hast.

Ich würde vorschlagen, wir klären mal zunächst dein Vorwissen. In welchem Rahmen wurde die Aufgabe denn gestellt?

Ich gehe mal davon aus, dass man sich schon ganz ordentlich mit den Winkelfunktionen auskennt, wenn man eine solche Aufgabe gestellt bekommt.


Gruß, Diophant



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-18 15:37


Hallo

Ich würde hier über den doppelten Flächeninhalt gehen.

2A=6a=8*b=12c

Daraus kannst du die Seitenverhältnisse berechnen und daraus dann die Innenwinkel berechnen. Mithilfe der Höhrn kannst du dann noch die Seiten berechnen.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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ebikerni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18 18:59


Hallo  Diophant.

mein Hobby ist für die mathem. Dreiecksberechnung die Erstellung von Programmen mit der Programmiersprache P Y T H O N  .
Sind z. Bsp. die Dreiecksseiten a b u. c gegeben, dann können fast alle
19 Elemente berechnet werden. Das Programm und die Ergebnisse können
sehr einfach und übersichtlich erstellt auch ausgedruckt werden.
Sicherlich habe ich schon ca.20 Programme mit 3 unterschiedlichsten gegebenen Dreieckselementen erstellt.
Sehr kompliziert ist die Erstellung des Programms mit den 3 Höhen.
Noch komplizierter ist die Erstellung des Programms mit den 3 gegebenen
Winkelhalbierenden.
Wie ist die Lösung mit den 3 gegebenen Dreieckshöhen?

Gruß von Ebikerni



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-18 19:19


Hallo ebikerni,

wie gesagt: das ist nicht so einfach und läuft schon auf einen etwas längeren Algorithmus hinaus. Hier mal ein Link. Dort werden mehrere Methoden vorgestellt, um die Seitenlängen zu berechnen. Eine davon hat Caban ja schon angesprochen.


Gruß, Diophant



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-18 19:26


Hallo

Ein Ansatz für die drei Höhen steht in Beitrag 2.

Für die Winkelhalbierenden würde ich ein Gleichungsystem mit 5 Unbekannten aufstellen.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-18 23:05


@caban, ich sehe nicht wie man aus drei höhen auf die fläche A schliessen kann? oder geht das irgendwie mit nem geschickt angesetztem sinus-satz oder ähnlichem?




mein versuch:
ich komme mit probieren ungefähr auf folgende abmessungen a~16.5 / b~12.4 / c~8.3   also einem deutlich stumpfwinkligem dreieck

bin aber noch auf der suche nach einer richtigen geometrischen konstruktion... noch ist die höhe c recht ungenau


was ich gefunden habe ist folgendes: verlängert man die drei höhen bis zu ihrem gemeinsamen fusspunkt (also dem höhen-schnittpunkt) dann haben das dreieck A/B/C (blau) und das neuentstandene dreieck Fusspkt.-h/B/C (rot) einen gemeinsamen feuerbachkreis (hier gelb), und daraus folgend den gleichen radius des umkreises, der ja immer doppelt so gross ist wie der feuerbachkreis

ich kannte das nicht aber dass ist evtl ein immer bestehende gemeinsamkeit zwischen einem dreieck und dem dreieck der höhen des selbigen, jedenfals sofern der höhenschnittpunkt ausserhalb des dreiecks liegt, also bei einem stumpfwinkligem dreieck

merkwürdiger weise stehen aber die seite (b des blauen dreiecks) und die höhe (b im roten dreieck) mit 2/3 in einem ganzzahligen verhältniss

dito die seite (c des blauen dreiecks) und die höhe (c im roten dreieck) mit 4/5 also auch ein ganzzahliges verhältniss

die pinken kreise sollen diese ganzzahligen verhältnisse darstellen, sie kreuzen die dreieckseiten jeweils im feuerbachkreis also auf halber seitenlänge und an den eckpunkten

kann das daran liegen dass bei der speziellen aufgabe hc=2 x ha beträgt ???
haribo

p.s. die ganzzahligen verhältnisse liegen geometrisch nicht vor, zufällig lagen die werte bei mir sehr dicht beieinander...




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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-18 23:19


Hallo hario

Man kann nicht auf die Fläche schließen, aber man kann die Seitenverhältnisse berechnen. Dann mit dem Kosinussatz die Winkel.

Gruß Caban



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-19 00:53

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Und für die Lösungen bei irgendwelchen gegebenen 3 Stücken siehe
The many ways to construct a triangle
Dort findest du auch dein Problem mit $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Das ist die 3. Lösungsmöglichkeit in Diophants Link.
Was man konstruieren kann, das kann man auch rechnen 🤗


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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ebikerni
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19 11:24


Hallo Diophant und Haribo,

ich habe die 1.Möglichkeit der graph. Dreieckskonstruktion angewendet und konnte die Werte für a b u. c bestätigen. Jetzt werde ich jedenfalls ein Programm für die rechnerische Erstellung aller restl. Werte mit hoher
Genauigkeit( 15 stellig ) aufstellen.

Gruß  ebikerni



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-19 11:48


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-19 16:10


2020-10-18 23:19 - Caban in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo hario

Man kann nicht auf die Fläche schließen, aber man kann die Seitenverhältnisse berechnen. Dann mit dem Kosinussatz die Winkel.

Gruß Caban

ok, die kehrwerte der höhenverhältnisse entsprechen den seitenverhältnissen

- dann kann ich drei seiten eines dem dreieck ABC ähnlichen pseudodreiecks berechnen, [ab hier könnte man auch geometrisch weiterzeichnen und skalieren...]
- mit der heronformel dessen fläche und  danach die höhe bestimmen
- einen ähnlichkeits faktor berechnen
- und danach die drei seiten a/b/c ermitteln

gegeben:
ha        =        6
hb        =        8
hc        =        12

f = ha ⋅ hb ⋅ hc        =        576  
(relativ willkürlicher ansatz um erstmal ganze zahlen zu behalten)

ähnliches pseudodreieck p mit den seiten pa/pb/pc :
pa = f / ha        =        96
pb = f / hb        =        72
pc = f / hc        =        48

halber umfang des pseudodreiecks:
s = (pa+pb+pc) / 2           =        108

heron formel zur flächenberechnung des pseudodreiecks:
pA = wurzel ( s ⋅ ( s − pa ) ⋅ ( s − pb ) ⋅ ( s − pc )) =        1673,1288

höhenberechnung des pseudodreiecks:
hpa = 2pA / pa        =        34,8569

ähnlichkeitsfaktor:
v = hpa / ha        =        5,8095

berechnung der gesuchten dreiecks seiten des dreiecks ABC:
a = pa / v        =        16,5247
b = pb / v        =        12,3935
c = pc / v        =        8,2624

beliebig weiter mit z.B. der fläche A:
A = a  ⋅ ha / 2        =        49,5742

mit dem heron-satz brauchts also nicht mal nen cos- od sin-satz
haribo

p.s. danke für den korrekturhinweis haegar90




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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-19 16:44



ähnlichkeitsfaktor:
v = hpa / ha        =        5,8095

berechnung der gesuchten dreiecks seiten des dreiecks ABC:
a = ha / v        =        16,5247
b = hb / v        =        12,3935
c = hc / v        =        8,2624
Komme hier nicht ganz durch. Welche Werte besitzen ha, hb, hc für die Division durch v ?
text
f =  576
pa =  96.0
pb =  72.0
pc =  48.0
s =  108.0
pA =  1673.1288055616042
hpa =  34.856850115866756
v=  5.809475019311126
a =  1.0327955589886444
b =  1.3770607453181924
c =  2.065591117977289
A =  3.098386676965933
 
Die Werte ergeben sich stattdessen mit
pa / v        =        16,5247
pb / v        =        12,3935
pc / v        =        8,2624


-----------------
Gruß haegar



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-19 17:58


@haribo
Die Lösung funktioniert klasse!!! Anscheinend aber nur für bestimmte Größenverhältnisse der Höhen ha, hb, hc zueinander, da gelegentlich auch komplexe Seitenlängen a,b,c oder gar keine Lsg. entstehen. (Oder mein Programm hat einen Bug 🙃)



-----------------
Gruß haegar



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Caban
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Hallo haegar

Mithilfe mer Dreiecksungleich habe ich herausgefunden, dass es nur Lösungen gibt, wenn für jede Höhe gilt h3>(h2*h1)/(h1+h2). Daran könnte es liegen, dass das Programm nicht immer eine Lösung findet.

@haribo

gute Idee mit der Heronsformel

Gruß Caban



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haegar90
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Hallo Caban,

danke für die Info. Muss aber gestehen dass ich
'h' noch nicht richtig zu deuten weiß. Mit h1, h2, h3, nehme ich an, sind die Höhen ha, hb, hc gemeint ?


-----------------
Gruß haegar



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-10-19 21:58


Hallo haegar90

Ich habe meinen Beitrag korrigiert. Ja, ich meine h_a, h_b und h_c, wollte es aber allgemein formulieren.

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haribo
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mit imaginären höhen kenn ich mich nicht aus

wenn ha=1 und hb=2 ist dann kann wohl die dritte höhe nur aus dem bereich 2/3 < hc < 2 kommen




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
ick bin gespannt ob meine berechnung mit caban´s übereinstimmt... aber nicht mehr heute

gute nacht
haribo



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