ebikerni
Neu Dabei seit: 17.10.2020 Mitteilungen: 3
Themenstart: 2020-10-18 15:12
hallo,
in einem Dreieck sind die höhen ha=6 hb=8 und hc=12 gegeben und
es müssen ca 18 elemente des dreiecks berechnet werden.
wie lauten die ergebnisse ( seiten,winkel usw. )
Diophant
Senior Dabei seit: 18.01.2019 Mitteilungen: 4854
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-18 15:36
Hallo und willkommen hier im Forum!
Das ist keine ganz einfache Aufgabenstellung, das vorneweg.
Grundsätzlich ist es aber so, dass hier auf dem Matheplanet keine fertigen Lösungen gegeben werden. Von daher solltest du deine bisherigen Überlegungen stets auch mit angeben, wenn du eine Frage hast.
Ich würde vorschlagen, wir klären mal zunächst dein Vorwissen. In welchem Rahmen wurde die Aufgabe denn gestellt?
Ich gehe mal davon aus, dass man sich schon ganz ordentlich mit den Winkelfunktionen auskennt, wenn man eine solche Aufgabe gestellt bekommt.
Caban
Senior Dabei seit: 06.09.2018 Mitteilungen: 1225
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-18 15:37
Hallo
Ich würde hier über den doppelten Flächeninhalt gehen.
2A=6a=8*b=12c
Daraus kannst du die Seitenverhältnisse berechnen und daraus dann die Innenwinkel berechnen. Mithilfe der Höhrn kannst du dann noch die Seiten berechnen.
ebikerni
Neu Dabei seit: 17.10.2020 Mitteilungen: 3
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18 18:59
Hallo Diophant.
mein Hobby ist für die mathem. Dreiecksberechnung die Erstellung von Programmen mit der Programmiersprache P Y T H O N .
Sind z. Bsp. die Dreiecksseiten a b u. c gegeben, dann können fast alle
19 Elemente berechnet werden. Das Programm und die Ergebnisse können
sehr einfach und übersichtlich erstellt auch ausgedruckt werden.
Sicherlich habe ich schon ca.20 Programme mit 3 unterschiedlichsten gegebenen Dreieckselementen erstellt.
Sehr kompliziert ist die Erstellung des Programms mit den 3 Höhen.
Noch komplizierter ist die Erstellung des Programms mit den 3 gegebenen
Winkelhalbierenden.
Wie ist die Lösung mit den 3 gegebenen Dreieckshöhen?
Diophant
Senior Dabei seit: 18.01.2019 Mitteilungen: 4854
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-18 19:19
Hallo ebikerni,
wie gesagt: das ist nicht so einfach und läuft schon auf einen etwas längeren Algorithmus hinaus. Hier mal ein Link. Dort werden mehrere Methoden vorgestellt, um die Seitenlängen zu berechnen. Eine davon hat Caban ja schon angesprochen.
haribo
Senior Dabei seit: 25.10.2012 Mitteilungen: 2567
Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-18 23:05
@caban, ich sehe nicht wie man aus drei höhen auf die fläche A schliessen kann? oder geht das irgendwie mit nem geschickt angesetztem sinus-satz oder ähnlichem?
mein versuch:
ich komme mit probieren ungefähr auf folgende abmessungen a~16.5 / b~12.4 / c~8.3 also einem deutlich stumpfwinkligem dreieck
bin aber noch auf der suche nach einer richtigen geometrischen konstruktion... noch ist die höhe c recht ungenau
was ich gefunden habe ist folgendes: verlängert man die drei höhen bis zu ihrem gemeinsamen fusspunkt (also dem höhen-schnittpunkt) dann haben das dreieck A/B/C (blau) und das neuentstandene dreieck Fusspkt.-h/B/C (rot) einen gemeinsamen feuerbachkreis (hier gelb), und daraus folgend den gleichen radius des umkreises, der ja immer doppelt so gross ist wie der feuerbachkreis
ich kannte das nicht aber dass ist evtl ein immer bestehende gemeinsamkeit zwischen einem dreieck und dem dreieck der höhen des selbigen, jedenfals sofern der höhenschnittpunkt ausserhalb des dreiecks liegt, also bei einem stumpfwinkligem dreieck
merkwürdiger weise stehen aber die seite (b des blauen dreiecks) und die höhe (b im roten dreieck) mit 2/3 in einem ganzzahligen verhältniss
dito die seite (c des blauen dreiecks) und die höhe (c im roten dreieck) mit 4/5 also auch ein ganzzahliges verhältniss
die pinken kreise sollen diese ganzzahligen verhältnisse darstellen, sie kreuzen die dreieckseiten jeweils im feuerbachkreis also auf halber seitenlänge und an den eckpunkten
kann das daran liegen dass bei der speziellen aufgabe hc=2 x ha beträgt ???
haribo
p.s. die ganzzahligen verhältnisse liegen geometrisch nicht vor, zufällig lagen die werte bei mir sehr dicht beieinander...
viertel
Senior Dabei seit: 04.03.2003 Mitteilungen: 27479
Aus: Hessen
Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-19 00:53
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Und für die Lösungen bei irgendwelchen gegebenen 3 Stücken siehe The many ways to construct a triangle
Dort findest du auch dein Problem mit $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Das ist die 3. Lösungsmöglichkeit in Diophants Link.
Was man konstruieren kann, das kann man auch rechnen 🤗
ebikerni
Neu Dabei seit: 17.10.2020 Mitteilungen: 3
Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19 11:24
Hallo Diophant und Haribo,
ich habe die 1.Möglichkeit der graph. Dreieckskonstruktion angewendet und konnte die Werte für a b u. c bestätigen. Jetzt werde ich jedenfalls ein Programm für die rechnerische Erstellung aller restl. Werte mit hoher
Genauigkeit( 15 stellig ) aufstellen.
Man kann nicht auf die Fläche schließen, aber man kann die Seitenverhältnisse berechnen. Dann mit dem Kosinussatz die Winkel.
Gruß Caban
ok, die kehrwerte der höhenverhältnisse entsprechen den seitenverhältnissen
- dann kann ich drei seiten eines dem dreieck ABC ähnlichen pseudodreiecks berechnen, [ab hier könnte man auch geometrisch weiterzeichnen und skalieren...]
- mit der heronformel dessen fläche und danach die höhe bestimmen
- einen ähnlichkeits faktor berechnen
- und danach die drei seiten a/b/c ermitteln
gegeben:
ha = 6
hb = 8
hc = 12
f = ha ⋅ hb ⋅ hc = 576
(relativ willkürlicher ansatz um erstmal ganze zahlen zu behalten)
ähnliches pseudodreieck p mit den seiten pa/pb/pc :
pa = f / ha = 96
pb = f / hb = 72
pc = f / hc = 48
halber umfang des pseudodreiecks:
s = (pa+pb+pc) / 2 = 108
heron formel zur flächenberechnung des pseudodreiecks:
pA = wurzel ( s ⋅ ( s − pa ) ⋅ ( s − pb ) ⋅ ( s − pc )) = 1673,1288
höhenberechnung des pseudodreiecks:
hpa = 2pA / pa = 34,8569
ähnlichkeitsfaktor:
v = hpa / ha = 5,8095
berechnung der gesuchten dreiecks seiten des dreiecks ABC:
a = pa / v = 16,5247
b = pb / v = 12,3935
c = pc / v = 8,2624
beliebig weiter mit z.B. der fläche A:
A = a ⋅ ha / 2 = 49,5742
mit dem heron-satz brauchts also nicht mal nen cos- od sin-satz
haribo
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 425
Aus: Gog
Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-19 16:44
ähnlichkeitsfaktor:
v = hpa / ha = 5,8095
berechnung der gesuchten dreiecks seiten des dreiecks ABC:
a = ha / v = 16,5247
b = hb / v = 12,3935
c = hc / v = 8,2624
Komme hier nicht ganz durch. Welche Werte besitzen ha, hb, hc für die Division durch v ?
text
f = 576
pa = 96.0
pb = 72.0
pc = 48.0
s = 108.0
pA = 1673.1288055616042
hpa = 34.856850115866756
v= 5.809475019311126
a = 1.0327955589886444
b = 1.3770607453181924
c = 2.065591117977289
A = 3.098386676965933
Die Werte ergeben sich stattdessen mit
pa / v = 16,5247
pb / v = 12,3935
pc / v = 8,2624
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 425
Aus: Gog
Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-19 17:58
@haribo
Die Lösung funktioniert klasse!!! Anscheinend aber nur für bestimmte Größenverhältnisse der Höhen ha, hb, hc zueinander, da gelegentlich auch komplexe Seitenlängen a,b,c oder gar keine Lsg. entstehen. (Oder mein Programm hat einen Bug 🙃)
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Caban
Senior Dabei seit: 06.09.2018 Mitteilungen: 1225
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.14, eingetragen 2020-10-19 19:06
Hallo haegar
Mithilfe mer Dreiecksungleich habe ich herausgefunden, dass es nur Lösungen gibt, wenn für jede Höhe gilt h3>(h2*h1)/(h1+h2). Daran könnte es liegen, dass das Programm nicht immer eine Lösung findet.
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 425
Aus: Gog
Beitrag No.15, eingetragen 2020-10-19 19:47
Hallo Caban,
danke für die Info. Muss aber gestehen dass ich
'h' noch nicht richtig zu deuten weiß. Mit h1, h2, h3, nehme ich an, sind die Höhen ha, hb, hc gemeint ?
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Themenstart: 2020-10-18 15:12
Notiz
Profil
Quote
Link
