in einem Dreieck sind die höhen ha=6 hb=8 und hc=12 gegeben und
es müssen ca 18 elemente des dreiecks berechnet werden.
wie lauten die ergebnisse ( seiten,winkel usw. )
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5263, aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-18
Hallo und willkommen hier im Forum!
Das ist keine ganz einfache Aufgabenstellung, das vorneweg.
Grundsätzlich ist es aber so, dass hier auf dem Matheplanet keine fertigen Lösungen gegeben werden. Von daher solltest du deine bisherigen Überlegungen stets auch mit angeben, wenn du eine Frage hast.
Ich würde vorschlagen, wir klären mal zunächst dein Vorwissen. In welchem Rahmen wurde die Aufgabe denn gestellt?
Ich gehe mal davon aus, dass man sich schon ganz ordentlich mit den Winkelfunktionen auskennt, wenn man eine solche Aufgabe gestellt bekommt.
Mitglied seit: 06.09.2018, Mitteilungen: 1341, aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-18
Hallo
Ich würde hier über den doppelten Flächeninhalt gehen.
2A=6a=8*b=12c
Daraus kannst du die Seitenverhältnisse berechnen und daraus dann die Innenwinkel berechnen. Mithilfe der Höhrn kannst du dann noch die Seiten berechnen.
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18
Hallo Diophant.
mein Hobby ist für die mathem. Dreiecksberechnung die Erstellung von Programmen mit der Programmiersprache P Y T H O N .
Sind z. Bsp. die Dreiecksseiten a b u. c gegeben, dann können fast alle
19 Elemente berechnet werden. Das Programm und die Ergebnisse können
sehr einfach und übersichtlich erstellt auch ausgedruckt werden.
Sicherlich habe ich schon ca.20 Programme mit 3 unterschiedlichsten gegebenen Dreieckselementen erstellt.
Sehr kompliziert ist die Erstellung des Programms mit den 3 Höhen.
Noch komplizierter ist die Erstellung des Programms mit den 3 gegebenen
Winkelhalbierenden.
Wie ist die Lösung mit den 3 gegebenen Dreieckshöhen?
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5263, aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-18
Hallo ebikerni,
wie gesagt: das ist nicht so einfach und läuft schon auf einen etwas längeren Algorithmus hinaus. Hier mal ein Link. Dort werden mehrere Methoden vorgestellt, um die Seitenlängen zu berechnen. Eine davon hat Caban ja schon angesprochen.
@caban, ich sehe nicht wie man aus drei höhen auf die fläche A schliessen kann? oder geht das irgendwie mit nem geschickt angesetztem sinus-satz oder ähnlichem?
mein versuch:
ich komme mit probieren ungefähr auf folgende abmessungen a~16.5 / b~12.4 / c~8.3 also einem deutlich stumpfwinkligem dreieck
bin aber noch auf der suche nach einer richtigen geometrischen konstruktion... noch ist die höhe c recht ungenau
was ich gefunden habe ist folgendes: verlängert man die drei höhen bis zu ihrem gemeinsamen fusspunkt (also dem höhen-schnittpunkt) dann haben das dreieck A/B/C (blau) und das neuentstandene dreieck Fusspkt.-h/B/C (rot) einen gemeinsamen feuerbachkreis (hier gelb), und daraus folgend den gleichen radius des umkreises, der ja immer doppelt so gross ist wie der feuerbachkreis
ich kannte das nicht aber dass ist evtl ein immer bestehende gemeinsamkeit zwischen einem dreieck und dem dreieck der höhen des selbigen, jedenfals sofern der höhenschnittpunkt ausserhalb des dreiecks liegt, also bei einem stumpfwinkligem dreieck
merkwürdiger weise stehen aber die seite (b des blauen dreiecks) und die höhe (b im roten dreieck) mit 2/3 in einem ganzzahligen verhältniss
dito die seite (c des blauen dreiecks) und die höhe (c im roten dreieck) mit 4/5 also auch ein ganzzahliges verhältniss
die pinken kreise sollen diese ganzzahligen verhältnisse darstellen, sie kreuzen die dreieckseiten jeweils im feuerbachkreis also auf halber seitenlänge und an den eckpunkten
kann das daran liegen dass bei der speziellen aufgabe hc=2 x ha beträgt ???
haribo
p.s. die ganzzahligen verhältnisse liegen geometrisch nicht vor, zufällig lagen die werte bei mir sehr dicht beieinander...
Mitglied seit: 04.03.2003, Mitteilungen: 27583, aus: Hessen
Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Und für die Lösungen bei irgendwelchen gegebenen 3 Stücken siehe The many ways to construct a triangle
Dort findest du auch dein Problem mit $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Das ist die 3. Lösungsmöglichkeit in Diophants Link.
Was man konstruieren kann, das kann man auch rechnen 🤗
Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
Hallo Diophant und Haribo,
ich habe die 1.Möglichkeit der graph. Dreieckskonstruktion angewendet und konnte die Werte für a b u. c bestätigen. Jetzt werde ich jedenfalls ein Programm für die rechnerische Erstellung aller restl. Werte mit hoher
Genauigkeit( 15 stellig ) aufstellen.
Man kann nicht auf die Fläche schließen, aber man kann die Seitenverhältnisse berechnen. Dann mit dem Kosinussatz die Winkel.
Gruß Caban
ok, die kehrwerte der höhenverhältnisse entsprechen den seitenverhältnissen
- dann kann ich drei seiten eines dem dreieck ABC ähnlichen pseudodreiecks berechnen, [ab hier könnte man auch geometrisch weiterzeichnen und skalieren...]
- mit der heronformel dessen fläche und danach die höhe bestimmen
- einen ähnlichkeits faktor berechnen
- und danach die drei seiten a/b/c ermitteln
gegeben:
ha = 6
hb = 8
hc = 12
f = ha ⋅ hb ⋅ hc = 576
(relativ willkürlicher ansatz um erstmal ganze zahlen zu behalten)
ähnliches pseudodreieck p mit den seiten pa/pb/pc :
pa = f / ha = 96
pb = f / hb = 72
pc = f / hc = 48
halber umfang des pseudodreiecks:
s = (pa+pb+pc) / 2 = 108
heron formel zur flächenberechnung des pseudodreiecks:
pA = wurzel ( s ⋅ ( s − pa ) ⋅ ( s − pb ) ⋅ ( s − pc )) = 1673,1288
höhenberechnung des pseudodreiecks:
hpa = 2pA / pa = 34,8569
ähnlichkeitsfaktor:
v = hpa / ha = 5,8095
berechnung der gesuchten dreiecks seiten des dreiecks ABC:
a = pa / v = 16,5247
b = pb / v = 12,3935
c = pc / v = 8,2624
beliebig weiter mit z.B. der fläche A:
A = a ⋅ ha / 2 = 49,5742
mit dem heron-satz brauchts also nicht mal nen cos- od sin-satz
haribo
Mitglied seit: 18.03.2019, Mitteilungen: 493, aus: Gog
Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-19
ähnlichkeitsfaktor:
v = hpa / ha = 5,8095
berechnung der gesuchten dreiecks seiten des dreiecks ABC:
a = ha / v = 16,5247
b = hb / v = 12,3935
c = hc / v = 8,2624
Komme hier nicht ganz durch. Welche Werte besitzen ha, hb, hc für die Division durch v ?
text
f = 576
pa = 96.0
pb = 72.0
pc = 48.0
s = 108.0
pA = 1673.1288055616042
hpa = 34.856850115866756
v= 5.809475019311126
a = 1.0327955589886444
b = 1.3770607453181924
c = 2.065591117977289
A = 3.098386676965933
Die Werte ergeben sich stattdessen mit
pa / v = 16,5247
pb / v = 12,3935
pc / v = 8,2624
Mitglied seit: 18.03.2019, Mitteilungen: 493, aus: Gog
Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-19
@haribo
Die Lösung funktioniert klasse!!! Anscheinend aber nur für bestimmte Größenverhältnisse der Höhen ha, hb, hc zueinander, da gelegentlich auch komplexe Seitenlängen a,b,c oder gar keine Lsg. entstehen. (Oder mein Programm hat einen Bug 🙃)
Mitglied seit: 06.09.2018, Mitteilungen: 1341, aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.14, eingetragen 2020-10-19
Hallo haegar
Mithilfe mer Dreiecksungleich habe ich herausgefunden, dass es nur Lösungen gibt, wenn für jede Höhe gilt h3>(h2*h1)/(h1+h2). Daran könnte es liegen, dass das Programm nicht immer eine Lösung findet.
Mitglied seit: 18.03.2019, Mitteilungen: 493, aus: Gog
Beitrag No.15, eingetragen 2020-10-19
Hallo Caban,
danke für die Info. Muss aber gestehen dass ich
'h' noch nicht richtig zu deuten weiß. Mit h1, h2, h3, nehme ich an, sind die Höhen ha, hb, hc gemeint ?
Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20
Hallo haribo,
auch ich finde es sehr interessant, wie mit den 3 bekannten Dreieckshöhen
als 1. Ergebnis die 3 Seiten a b u. c bestimmt werden konnten.
Für mich gibt es auch keine Hinweise, wie mit den gegebenen 3 Winkelhalbierenden eines Dreiecks ebenfalls erstmalig 3 Dreieckelemente
bestimmt werden können, um damit auch alle restlichen Elemente bestimmen
zu können.
Ich bin für mögliche Hinweise sehr dankbar.
Für mich gibt es auch keine Hinweise, wie mit den gegebenen 3 Winkelhalbierenden eines Dreiecks ebenfalls erstmalig 3 Dreieckelemente
bestimmt werden können, um damit auch alle restlichen Elemente bestimmen
zu können.
Dieses Problem ist nicht konstruktiv lösbar (siehe viertels Link), da es bereits für gleichschenklige Dreiecke auf kubische Gleichungen hinausläuft.
Per Brute Force könnte man anfangen mit den drei Gleichungen des Typs $\frac{2\cos(\frac{\gamma}{2})}{w_\gamma} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.
Zusammen mit Kosinus- und/oder Sinussätzen sollte das zur numerischen Lösung bereits ausreichen.
Mit analytischen Methoden wird man das auch auf algebraische Gleichungen/Gleichungssysteme zurückführen können. (bspw. indem man mit den Additionstheoremen die Kosini eliminiert)
----------------- Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
Kannst du den Zusammnenhnag von Beitrah 16 bestätigen?
Gruß Caban
Zumindest ergeben sich bei einer numerischen Prüfung unter Erfüllung der Bedingungen aus #16 ausschließlich Dreiecke mit den Seitenlängen $a,b,c \in \mathbb{R}$.
$$\frac{h_1 \cdot 2h_1}{2h_1 + h_1} < h_3 < \frac{h_1 \cdot 2h_1}{2h_1 - h_1}$$
$$\frac{2}{3} h_1 < h_3 < 2 h_1$$
Was ja der Aussage von haribo für den Fall in #17 entspricht.
bin drauf gekommen dass ja immerhin h2 bei beiden ansätzen gleich sein kann, und diesen wert kann ich als ersten eingeben beim vergleichen...
und danach hab ich mich entschlossen deine hn schreibweise zu übernehmen...
ich skaliere nur weiterhin den grössten höhenwert (jetzt also h3) auf 1,
also: h3 = 1 > h2 > h1
dann wird deine grenzwertformel noch einfacher unterm bruchstrich und passt sowas von genau zu meiner graphik, dass ich sie also völlig bestätigen kann
oder bei skalierung von h3=1 und h3 > h2 > h1: h_2/(h_2+1)<h_1<h_2/(h_2-1)
ist aber nur umstellerei bzw ich hab heute morgen im noch halbschlaf nachträglich deinen ansatz der kehrwertsummen aus #16 endlich nachvollziehen können, was ja auch schön ist
haribo
Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26
Hallo Caban,
wie kann ich die Winkel Alpha und Beta in Deinem Beitrag 21 berechnen ?
Die Winkelhalbierende wa=8.5 wb=7.0 u. wc=2 sind natürlich bekannt und
folglich meine Programmerstellung mit meinem IDLE(Python 3.6.64 bit) für die Bestimmung aller restlichen Dreieckelemente kann dann erfolgen.
wie kann ich die Winkel Alpha und Beta in Deinem Beitrag 21 berechnen ?
Die Winkelhalbierende wa=8.5 wb=7.0 u. wc=2 sind natürlich bekannt und
folglich meine Programmerstellung mit meinem IDLE(Python 3.6.64 bit) für die Bestimmung aller restlichen Dreieckelemente kann dann erfolgen.
Indem du ein numerisches Lösungsverfahren auf das nichtlineare Gleichungssystem ansetzt.
Entweder musst du dazu eines selbst implementieren oder aber eine fertige Bibliothek (in Python also bspw. scipy.optimize) nutzen.
----------------- Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26
Hallo DerEinfaeltige
"Indem du ein numerisches Lösungsverfahren auf das nichtlineare Gleichungssystem ansetzt.
Entweder musst du dazu eines selbst implementieren oder aber eine fertige Bibliothek (in Python also bspw. scipy.optimize) nutzen."
danke für Deinen wertvollen Hinweis.
Für mein Hobby Programme für Dreiecksberechnungen mit Python zu erstellen,
benötige ich die Software Python und die Literatur für Programmiereinsteiger.
Die Software scipy.optimize kann ich sicherlich installieren, aber eine
entsprechende Literatur habe ich nicht.
Nochmals vielen Dank
ebikerni
scipy (kurz für "Scientific Python") ist die gängigste Bilbiothek für numerische und symbolische Mathematik.
Dokumentation findet sich leicht über Google.
Aus der Dokumentation:
scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method='hybr', jac=None, tol=None, callback=None, options=None)
Find a root of a vector function.
Parameters
fun: callable
A vector function to find a root of.
x0: ndarray
Initial guess.
args: tuple, optional
Extra arguments passed to the objective function and its Jacobian.
usw.
Ich stelle daher anhand von 6 Gleichungen in den drei Seitenlängen und Winkeln eine Vektorfunktion fun in 6 Unbekannten mit Lösung als Nullstelle auf. (Jede Gleichung in die Form $f_k(X)=0$ bringen)
Diese Funktion übergebe ich an den Lösungsalgorithmus.
Als Startwert X0 rate ich ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge 1 (für gutartige Probleme sollte das ausreichen).
Als Argumente args übergebe ich die entsprechenden Parameter (hier die drei Winkelhalbierenden).
Sonstige Argumente lasse ich auf Voreinstellung.
Vorteil:
Damit lässt sich das Dreieck für nahezu jedes Parameterset berechnen, solange man nur passende Gleichungen aufstellen kann.
Sinus- oder Cosinussätze liefern dazu in jedem Fall bereits drei der notwendigen 6 Gleichungen.
Vorgegebene Winkel oder Seitenlängen liefern weitere triviale Gleichungen.
Nachteil:
Für einfache Probleme ist es ein Angriff auf sehr kleine Spatzen mit sehr großen Kanonen.
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- Bill Watterson -
Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27
Wa Wb Wc ist aktuell !
Hallo DerEinfaeltige,
ich möchte mich sehr herzlich für Deinen Beitrag bedanken und
habe mich nun sehr konzentriert mit diesem Problem beschäftigt.
1. mir ist es nicht gelungen, die noch nicht notwendige software
scipy und numpy zu installieren
2. für die Darstellung einer der zeile
return 2*np.cos(alpha/2)/wa-1/b-1/c,\
kann ich die Darstellung z.Bsp. wa-1 kene Erklärung finden.
Für eine weitere Aussprache und Frage wäre ich sehr dankbar,
Installation von numpy/scipy sollte bspw. über pip aus der Konsole funktionieren. (das sollte sich ergooglen lassen)
Python
2*np.cos(alpha/2)/wa-1/b-1/c
ist nichts anderes als $\frac{2\cos(\frac{\alpha}{2})}{w_a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}$.
Das ist die Formel zur Trigonometrie der Winkelhalbierenden auf Wikipedia, umgestellt als Nullstelle einer Funktion bzw. Komponente der Vektorfunktion.
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- Bill Watterson -
Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28
Hallo DerEinfaeltige,
herzlichen Dank für die letzten Beiträge mit 2*cos(0.5*alfa)/wa=1/b+1/c
und den Hinweisen " scipy optimize root " die Beschreibung dafür finde.
Für mich sind die 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten jetzt eindeutig erklärt.
Die Erweiterung meines Python 3.6 64-bit mit scipy und numpy ist mir aber nicht gelungen. Für mich ist es eine freundschaftliche Frage, wie ich die Nachinstallation durchführen kann.
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