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Universität/Hochschule J Fläche über Gebiet bestimmen
CindyP
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-18


Hallo
Ich bin ganz neu hier und brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe

Ich soll den Flächeninhalt des Gebietes G aus dem R^2 bestimmen mit
G={(u,v)|0<=((u+v)/2)<=3 und
1/4 (v-u)^2<=9((u+v)/2)-((u+v)/2)^3}

Ich habe aus der Bedingung
0<=((u+v)/2)<=3 zwei parallele Geraden erhalten. Und aus
1/4 (v-u)^2<=9((u+v)/2)-((u+v)/2)^3 eine ovale Fläche innerhalb dieses Geradenstreifens, sowie ein Gebiet außerhalb.
Es geht also um die Fläche dieses ovalen Stückes.

Und hier weiß ich nicht weiter. Zuerst habe ich an eine Ellipse gedacht, aber wenn ich versuche die Ungleichung erstmal als Gleichung zu betrachten und dann in Ellipsenform zu bringen, erhalte ich

(v-u)^2/√(2(u+v))^2 + (u+v)^2/4 =9

und dann hängen mein x, y und a aus der Ellipsengleichung von u und v ab. Daher bin ich mir auch gar nicht sicher ob ich eine Ellipse habe.

Ich kann normal auch Mehrfachintegrale berechnen, habe hier aber irgendwie keinen Plan, was meine Funktion oder die Integrationsgrenzen sind.

Über Hilfe wäre ich echt dankbar.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-18


Hallo CindyP,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Es gibt hier mehrere Möglichkeiten, mathematische Formeln einzugeben: mit
$\LaTeX$ sieht die Definition des Gebiets so aus:
\[
G=\left\{(u,v)\mid 0\leq\frac{u+v}{2}\leq 3 \wedge
\frac{1}{4} (v-u)^2\leq 9\frac{u+v}{2}-\left(\frac{u+v}{2}\right)^3\right\}
\]
Die zweite Möglichkeit ist Fed:
fed-Code einblenden

Deine Überlegungen zur Form des Gebiets $G$ sind richtig. Welche Funktion musst Du über $G$ integrieren, um die Fläche zu bestimmen?

Habt ihr den Transformationssatz für Gebietsintegrale schon besprochen? Welche Koordinatentransformation bietet sich hier an?

Ich hoffe, das bringt Dich auf Ideen,
Roland


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Integration im IR^n' von rlk]



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CindyP
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19


Hallo Roland
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
Der Transformationssatz besagt ja allgemein \[\int \int_B f(x,y)dxdy=\int \int_D f(x(u,v),y(u,v))\frac{\delta(x,y)}{\delta(u,v)}dudv\] Da mein Gebiet eine elliptische Form hat würde ich elliptische Koordinaten benutzen mit \[x=c cosh(u)cos(v), y=c sinh(u)sin(v)\] Und dann muss ich
\[\int\int_G dudv=\int\int_D \frac{\delta(x,y)}{\delta(u,v)}dudv\] berechnen in den Grenzen, dass u von 0 bis unendlich geht, und v von 0 bis 2π
Wäre das richtig?



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-19


Hallo CindyP,
die Randkurve von $G$ ist wegen des kubischen Terms keine Ellipse, daher sind elliptische Koordinaten hier nicht angebracht. Ich habe eine viel einfachere Transformation gemeint, mit der die Ungleichungen vereinfacht werden. Denke dabei an die parallelen Geraden.

Servus,
Roland



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CindyP
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19


Meine beiden Geraden haben die Gleichungen \[v=-u\] und \[v=-u+6\] Also kann ich jeden Punkt aus G als Schnittpunkt einer Geraden \[v=-u+b\] mit \[0\le b \le 6\] mit meinem ovalen Gebiet auffassen.
Und b wird dann eine meiner neuen Koordinaten. Nur wie mache ich das dann bezüglich des ovalen Gebietes? Da habe ich irgendwie keinen Plan.
Ich muss ja auch so eine Bedingung wie bei der Geraden finden, bekomme dann meine zweite neue Koordinate und könnte dann den Transformationssatz anwenden, oder?



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CindyP
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19


Ich habe jetzt zwei neue Koordinaten gefunden, und zwar einmal \[b=u+v\] mit \[0\le b \le 6\] Und eine Koordinate c mit \[c=v-u\] und \[-\sqrt(18b-0,5b^3)\le c\le \sqrt(18b-0,5b^3)\] Das habe ich nach u und v gelöst, so dass ich u(b,c) und v(b,c) habe, womit ich dann \[\iint \frac{\delta(u,v)}{\delta(b,c)}db dc\]in den angegebenen Grenzen bestimmen kann. Am Ende komme ich damit aber auf ein Integral für das es keine Stammfunktion gäbe :(



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-20


Hallo CindyP,
ja, diese Transformation habe ich gemeint. Der Faktor vor $b^3$ stimmt nicht. Stimmen die Ungleichungen aus dem Themenstart, insbesondere der Exponent? Das könnte der Grund sein, warum die Stammfunktion nicht durch elementare Funktionen darstellbar ist.

Ein Gebietsintegral
$$\int_G h(b,c) \dd b\,\dd c$$ liefert das Volumen des Körpers mit der Grundfläche $G$ und der vom Ort $(u,v)$ abhängigen Höhe $h(u,v)$. Wie musst Du die Höhe $h$ wählen, wenn Du den Flächeninhalt von $G$ ermitteln willst?

Servus,
Roland

PS: Noch ein Hinweis zur $\LaTeX$-Formatierung. Wie bei vielen anderen Programmen aus dem angloamerikanischen Raum ist bei $\LaTeX$ das Dezimaltrennzeichen der Punkt, nicht das Komma. Vergleiche $0.5$ und $0,5$. Wenn Du ein Dezimalkomma verwenden willst, kannst Du mit 0\mathord,5 dafür sorgen, dass der richtige Abstand verwendet wird: $0\mathord,5$.



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CindyP
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20


Die Aufgabe stimmt so mit den Ungleichungen und Exponenten.
Ich sehe jetzt allerdings nicht, wo mein Fehler bezüglich b ist.
Ich habe aus der Ungleichung \[0\le \frac{u+v}{2}\le 3\] indem ich mit 2 multipliziere doch dann \[0\le b\le 6\] mit b=u+v

Was die Höhe h(b,c) angeht, die habe ich gleich 1 gesetzt. Vielleicht war das mein Fehler?



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-21


Hallo CindyP,
die Ungleichungen für $b$ sind richtig, aber bei denen für $c$ hast Du Dich verrechnet.

Es ist völlig richtig, $h=1$ zu setzen, um die Fläche von $G$ zu berechnen. Wie lautet die Aufgabe im Original? Vielleicht ist ja gar nicht verlangt, das Integral zu berechnen?

Servus,
Roland



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CindyP
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21


Laut Aufgabe soll man den Flächeninhalt des Gebietes G bestimmen.

Für meine Integralgrenzen bezüglich c komme ich auf \[c^2\le 18b-\frac{1}{2}b^3\] und selbst wenn ich als untere Grenze 0 wählen würde, käme ich damit am Ende auch darauf das Integral \[\int \sqrt(18b-\frac{1}{2}b^3)\] bestimmen zu müssen. Und da komme ich dann nicht weiter



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-21


Hallo CindyP,
2020-10-21 00:25 - CindyP in Beitrag No. 9 schreibt:
Laut Aufgabe soll man den Flächeninhalt des Gebietes G bestimmen.
Habt ihr schon numerische Integrationsverfahren gelernt?
2020-10-21 00:25 - CindyP in Beitrag No. 9 schreibt:
Für meine Integralgrenzen bezüglich c komme ich auf $$ \begin{equation}
c^2\le 18b-\frac{1}{2}b^3
\end{equation}
$$
Ja, die sind richtig. Ich hatte mich verrechnet, es tut mir leid, wenn ich Dich verwirrt habe.
2020-10-21 00:25 - CindyP in Beitrag No. 9 schreibt:
selbst wenn ich als untere Grenze 0 wählen würde, käme ich damit am Ende auch darauf das Integral \[\int \sqrt{18b-\frac{1}{2}b^3}\] bestimmen zu müssen. Und da komme ich dann nicht weiter
Wieso sollte die untere Grenze für $c$ den Wert 0 haben? Aus $(1)$ und der Integration über $c$ ergibt sich Dein Integrand. Wolfram Alpha liefert (für r den Integranden mit meinen falschen Koeffizienten) eine komplizierte Stammfunktion mit einer hypergeometrischen Funktion. Ich vermute, dass sich das Integral auf ein elliptisches Integral umformen lässt, habe das aber noch nicht versucht.

Servus,
Roland

PS: Mit geschwungenen Klammern um den Radikand stellt $\LaTeX$ die Wurzel richtig dar.



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CindyP
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21


Numerische Integration hatten wir noch nicht. Kam jetzt aber auch auf ein Integral, bei dem eine Stammfunktion mit eulerischer Betafunktion angegeben wird. Und einem Wert von 29,8. Die hatten wir zwar auch noch nicht, aber habe es Mal mit Näherungsfunktionen versucht und kam in etwa auf den Wert.
Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe und den Tipp mit der Transformationsformel. Die habe ich im Prinzip jetzt auch verstanden. :)



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