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Universität/Hochschule J Lotka-Volterra-System
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Betrachte das Lotka-Volterra-Differentialgleichungssystem für nichtnegative reelle Funktionen $x,y: \mathbb{R} \to [0;\infty)$
\[
    \begin{align*}
        \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= x(\alpha - \beta y) \\
        \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= y(-\gamma + \delta x)
    \end{align*}
\] wobei $\alpha,\beta,\gamma,\delta>0$ Konstanten sind.

Aufgabe.
Löse das System, indem du nach Elimination von $\mathrm{d}t$ das System in der Form
\[
    \begin{align*}
        \frac{\mathrm{d}x}{x(\alpha - \beta y)}
        = \frac{\mathrm{d}y}{y(-\gamma + \delta x)}
    \end{align*}
\] schreibst und dann Variablen separierst und integrierst. Man erhält implizite Lösungen $f(x,y)=c.$





Die Aufgabe konnte ich lösen; ich erhielt Lösungen der Form
\[f(x,y) := -\gamma \ln|x| + \delta x - \alpha \ln|y| + \beta y = c\] für $c \in \mathbb{R}$.


Nun möchte ich euch gerne eine Verständnisfrage dazu stellen, weil das Rechnen mit 1-Formen (bzw. Funktionalen) noch nicht ganz klar ist für mich: Warum darf ich den Lösungsalgorithmus überhaupt so umsetzen wie es die Aufgabe schreibt? Das $\mathrm{d}t$ ist doch Bestandteil der Ableitungsnotation und keine Funktion?!?!😵
\(\endgroup\)


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Wally Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19

Hallo Phoensie,

gut, dass du so misstrauisch bist :)

Was hier bestimmt wird nennt sich "erstes Integral". Das ist die Lösung der "Phasendiffferentialgleichung".

Wenn du nach diesen Begriffen suchst, findest du sicher Infos, die zu deinen Kenntnissen passen.

Viele Grüße

Wally



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.04.2020, Mitteilungen: 252, aus: Muri AG, Schweiz
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19

Danke Wally! Bin fündig geworden.👌



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