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Universität/Hochschule J Kugelproblem
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallöchen miteinander!

In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln, die nummeriert sind. In einer Ziehung sei die Ziehwahrscheinlichkeit für eine rote Kugel $3/5$; diejenige, eine ungerade Zahl zu ziehen sei $2/3$; diejenige, eine rote Kugel mit gerader Zahl zu ziehen sei $p$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man eine schwarze Kugel mit ungerader Zahl?

Ich definiere hierzu folgende Ereignisse:
\[
\begin{align*}
    R &:= \{\text{rote Kugelfarbe}\}, \\
    S &:= \{\text{schwarze Kugelfarbe}\} = \overline{R}, \\
    U &:= \{\text{ungerade Kugelzahl}\}, \\
    G &:= \{\text{gerade Kugelzahl}\} = \overline{U}.
\end{align*}
\] Gegeben aus der Aufgabenstellung sind
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(R)=\frac{3}{5}
    ,\;
    \mathbb{P}(S)=\frac{2}{5}
    ,\;
    \mathbb{P}(U)=\frac{2}{3}
    ,\;
    \mathbb{P}(G)=\frac{1}{3}
    ,\;
    \mathbb{P}(R \cap G)=p
\end{align*}
\] woraus sich ebenfalls ergeben:
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(G|R) &= \frac{\mathbb{P}(R \cap G)}{\mathbb{P}(R)} = \frac{5}{3}p \\
    \mathbb{P}(R|G) &= \frac{\mathbb{P}(R \cap G)}{\mathbb{P}(G)} = 3p
\end{align*}
\]
Die Frage ersucht nach $\mathbb{P}(S \cap U)$. Es gilt:
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(S \cap U)
    &= \mathbb{P}(S|U) \cdot \mathbb{P}(U) \\
    &= ...
\end{align*}
\]

Hier komme ich nicht weiter...
\(\endgroup\)


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ochen Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19

Hallo,

kennst du Vier-Felder-Tafeln?

<math>
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw (-1,-1) grid (3,3);
\node at (.5, 2.5){rot};
\node at (1.5, 2.5){schwarz};
\node at (-.5,.5){ungerade};
\node at (-.5,1.5){gerade};
\node at (.5,-.5){$3/5$};
\node at (2.5,.5){$2/3$};
\node at (.5,1.5){$p$};
\draw[very thick] (-1,0) -- (3,0);
\draw[very thick] (2,-1) -- (2,3);
\draw[very thick] (0,-1) -- (0,3);
\draw[very thick] (-1,2) -- (3,2);
\node at (-.5,-.5){$\displaystyle\sum$};
\node at (2.5,2.5){$\displaystyle\sum$};
\end{tikzpicture}
</math>



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DerEinfaeltige Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-19

Ich würde so vorgehen:

$P(S) = P(S \cap G) + P(S \cap U)$
$P(R) = P(R \cap G) + P(R \cap U)$

Damit sollte man $P(S \cap U)$ direkt ausrechnen können.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
2020-10-19 10:05 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

kennst du Vier-Felder-Tafeln?


Hey ochen; Noch nie gehört, aber wenn ich die so ansehe, ist das Konzept sehr einleuchtend (erinnert mich an magische Zahlenquadrate aus der Primarschule)😄 Danke für diese Herangehensweise - die kann ich in Zukunft sicher gut gebrauchen.

2020-10-19 10:09 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich würde so vorgehen:

$P(S) = P(S \cap G) + P(S \cap U)$
$P(R) = P(R \cap G) + P(R \cap U)$

Damit sollte man $P(S \cap U)$ direkt ausrechnen können.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Lieber DerEinfaeltige

Mit deinem Ansatz erhalte ich
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(S \cap U)
    &= \mathbb{P}(S) - \mathbb{P}(S \cap G) \\
    &= \mathbb{P}(S) - \mathbb{P}(\overline{R} \cap G) \\
    &= \mathbb{P}(S) - (1- \mathbb{P}(R \cap G)) \\
    &= \mathbb{P}(S) - 1 + \mathbb{P}(R \cap G) \\
    &= \frac{2}{5} - 1 + p \\
    &= p - \frac{3}{5}.
\end{align*}
\] Deckt sich das mit deinem Wert?


Gruss an euch beide, Phoensie
\(\endgroup\)


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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5322, aus: Rosenfeld, BW
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich hatte es vorhin auch gesehen und nachgerechnet, daher kurz:

2020-10-19 10:22 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(S \cap U)
    &= \mathbb{P}(S) - \mathbb{P}(S \cap G) \\
    &= \mathbb{P}(S) - \mathbb{P}(\overline{R} \cap G) \\
    &= \mathbb{P}(S) - (1- \mathbb{P}(R \cap G)) \\
    &= \mathbb{P}(S) - 1 + \mathbb{P}(R \cap G) \\
    &= \frac{2}{5} - 1 + p \\
    &= p - \frac{3}{5}.
\end{align*}
\]

das ist leider noch nicht richtig. Rechne das doch wirklich mal schrittweise an Hand einer Vierfeldertafel nach, damit kann man sich dann einen direkten Rechenweg auch gut klarmachen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.02.2015, Mitteilungen: 2529
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-19

Die untere Rechnung stimmt nicht.

Von Zeile 2 zu 3 machst du einen Fehler.

Im Allgemeinen gilt nämlich $P(\overline{R} \cap G) \neq 1 - P(R \cap G)$

Es gilt jedoch analog zu den anderen beiden Gleichungen $P(G) = P(R \cap G) + P(S \cap G)$.


PS.: Interessant, dass jemand so versiert im Umgang mit der Notation ist und dennoch die Vierfeldertafel (zumindest bei uns elementarer Schulstoff) nicht kennt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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viertel Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-19

Ich denke, ein einfaches Bäumchen tut's auch:

                                ┌───────────┐
                 ┌────────────┐┌┤gerade     │
                ┌┤rot         ├┤└───────────┘
                │└────────────┘│┌───────────┐
 ┌─────────────┐│              └┤ungerade   │
─┤Urne         ├┤               └───────────┘
 └─────────────┘│               ┌───────────┐
                │┌────────────┐┌┤gerade     │
                └┤schwarz     ├┤└───────────┘
                 └────────────┘│┌───────────┐
                               └┤ungerade   │
                                └───────────┘


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


-----------------
Bild



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Man lernt jeden Tag etwas dazu.😁 Danke für die Korrektur, habe den Fehler eingesehen und erhalte nun

\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(S \cap U)
    &= \mathbb{P}(S) - \mathbb{P}(S \cap G) \\
    &= \mathbb{P}(S) - \mathbb{P}(\overline{R} \cap G) \\
    &= \mathbb{P}(S) - (\mathbb{P}(G) - \mathbb{P}(R \cap G)) \\
    &= \mathbb{P}(S) - \mathbb{P}(G) + \mathbb{P}(R \cap G) \\
    &= \frac{2}{5} - \frac{1}{3} + p \\
    &= p + \frac{2}{5} - \frac{1}{3} \\
    &= p + \frac{6}{15} - \frac{5}{15} \\
    &= p + \frac{1}{15}.
\end{align*}
\]
\(\endgroup\)


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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5322, aus: Rosenfeld, BW
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-19

Hallo,

jetzt ist es richtig. 👍


Gruß, Diophant



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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-19

Hallo

Ich glaube, du solltest deinen Ansatz nocheinmal überdenken. Ich komme auf p+1/15.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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viertel Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Und welchen Wert hat denn nun $p$?
Damit kanst du doch den gesuchten Wert direkt angeben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@viertel:
Die Wahrscheinlichkeit \(p\) ist nicht explizit gegeben. Mit der Vierfeldertafel kann man hier aber sofort das Intervall angeben, in dem \(p\) liegen muss... 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Die ausgefüllte Vierfeldertafel ist
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 42 ]

@Diophant: Danke für den Tipp mit den MATH-Tags; jetzt funktionierts mit der Tabellendarstellung.😁👍

Hieraus ergibt sich, dass beispielsweise $S$ und $U$ genau dann unabhängig sind, wenn $p=\frac{3}{15}$ ist. Das Tabellenfeld $\mathbb{P}(R \cap G)$ impliziert allgemein $p \in \left(0;\min\left\{\frac{1}{3},\frac{3}{5}\right\}\right)$, wenn davon ausgegangen wird, dass rote, schwarze, gerade und ungerade Kugeln alle vorhanden sind. Kann ich das Intervall weiter einschränken?
\(\endgroup\)


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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 06.09.2018, Mitteilungen: 1345, aus: Brennpunkt einer Parabel
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Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-19

Hallo

Die Obergrenze für p ist 1/3, das kann man nicht weiter einschränken. Aber du solltest das Intervall auch für die gesuchte Wahrscheinlichkeit angeben.

Gruß Caban



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.04.2020, Mitteilungen: 255, aus: Muri AG, Schweiz
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Ok, das wäre ja dann $\mathbb{P}(S \cap U) \in \left(0+\frac{1}{15};\min\left\{\frac{1}{3},\frac{3}{5}\right\}+ \frac{1}{15}\right)=\left(\frac{1}{15};\frac{2}{5}\right)$, oder?
\(\endgroup\)


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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.15, eingetragen 2020-10-19

Hallo

Ja, das ist das Intervall.

Gruß Caban



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viertel Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.16, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-19 10:44 - Diophant in Beitrag No. 11 schreibt:
@viertel:
Die Wahrscheinlichkeit \(p\) ist nicht explizit gegeben. Mit der Vierfeldertafel kann man hier aber sofort das Intervall angeben, in dem \(p\) liegen muss... 😉
Gruß, Diophant
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein trauriges Kapitel bei mir😖

Ich denke, ich habe jetzt meinen Denkfehler.
Die geraden/ungeraden Zahlen müssen ja nicht unter den roten und schwarzen mit gleicher Häufigkeit verteilt sein. Es könnten ja z.B. auch alle roten ungerade sein (dann wäre $p=0$).
Und damit ist natürlich meine Idee mit dem Baum Quatsch.
\(\endgroup\)


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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.17, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
@viertel:
2020-10-19 12:32 - viertel in Beitrag No. 16 schreibt:
Ich denke, ich habe jetzt meinen Denkfehler.
Die geraden/ungeraden Zahlen müssen ja nicht unter den roten und schwarzen mit gleicher Häufigkeit verteilt sein. Es könnten ja z.B. auch alle roten ungerade sein (dann wäre $p=0$).

Ja, denn die beiden Merkmale (hier: Farbe und Gerade/Ungerade) können i.a. ja voneinander unabhängig oder in einem gewissen Ausmaß abhängig sein.

2020-10-19 12:32 - viertel in Beitrag No. 16 schreibt:
Und damit ist natürlich meine Idee mit dem Baum Quatsch.

Nicht grundsätzlich. Aber gefährlich. Wählt man die Farben als erste Stufe, dann ist das Problem die zweite Stufe: konkret, die Wahrscheinlichkeiten, die dort einzutragen sind. Das sind nämlich bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Von oben nach unten müsste man also die zweite Stufe deines Baums mit folgenden (bedingten) Wahrscheinlichkeiten versehen:

- rot, gerade: \(P(G|R)=\frac{5}{3}p\)

- rot, ungerade: \(P(\overline{G}|R)=1-\frac{5}{3}p\)

- schwarz, gerade: \(P(G|\overline{R})=\frac{5}{6}-\frac{5}{2}p\)

- schwarz, ungerade: \(P(\overline{G}|\overline{R})=\frac{1}{6}+\frac{5}{2}p\)

Jetzt kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit am Baum wie gewohnt berechnen:

\[P(\overline{R}\cap\overline{G})=P(\overline{R})\cdot P(\overline{G}|\overline{R})=\frac{2}{5}\cdot\left(\frac{1}{6}+\frac{5}{2}p\right)=\frac{1}{15}+p\]
Das ist aber schon nach dem Motto "quer durch die Bust ins Auge" gerechnet. Aber möglich. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.18, eingetragen 2020-10-19

Hallo viertel

Ich habe die Aufgabe mit einem Baum gelöst, das geht. Ich habe das aber ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten gemacht, sondern nur mit Pfadregeln.

Gruß Caban



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.19, eingetragen 2020-10-19

@Caban:
2020-10-19 22:07 - Caban in Beitrag No. 18 schreibt:
Ich habe die Aufgabe mit einem Baum gelöst, das geht. Ich habe das aber ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten gemacht, sondern nur mit Pfadregeln.

Wie soll denn das bei diesen Angaben funktionieren, könntest du das einmal vorrechnen?


Gruß, Diophant



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Beitrag No.20, eingetragen 2020-10-19

Hallo Diophant

Streng genommen habe ich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten gerechnet, aber ich habe nicht benutzt, dass es bedingte Wahrscheinlichkeiten sind. Im Prinzip habe ich dieselben Werte für das Baumdiagramm wie du.

Gruß Caban



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