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 Richtungsableitung |
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mathematikerlein
Aktiv 
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 37
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Hallo,
eine Funktion f mit kompaktem Träger, sagen wir in einem Gebiet $\Omega$ ist ja am Rand von $\Omega$ 0 (also der Träger soll eine kompakt enthaltene Menge sein). Muss allerdings auch die Richtungsableitung von f in Richtung der äußeren Einheitsnormale am Rand vom Träger im Allgemeinen 0 sein ? Bzw. das Integral über den Rand davon bezüglich dem (n-1) dimensionalen Hausdorff-Maß ?
Danke schonmal
Liebe Grüße
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1115
|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\rVert}{\right\Vert}
\newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo mathematikerlein,
meine spontante Überlegung dazu: Ist $f$ differenzierbar, so kann die Einschränkung auf die Einheitsnormale (als Gerade, nicht als Vektor) als Funktion mit einem Intervall als Definitionsbereich betrachtet werden, und ist differenzierbar. Dann greift der Satz von Darboux, demzufolge die Ableitung der eingeschränkten Funktion die Zwischenwerteigenschaft hat, das heißt, falls sie an den Stellen $a,b$ die Werte $\D_n f(a),\D_nf(b)$ annimmt, so nimmt sie auf dem Intervall zwischen $a$ und $b$ auch alle Werte zwischen $\D_nf(a)$ und $\D_nf(b)$ an. Dabei bezeichnet $\D_n$ die Richtungsableitung entlang der Einheitsnormalen.
Jedenfalls gilt, dass die Richtungsableitung außerhalb des Abschlusses des Trägers $0$ ist. Dann kann sie aber nur die Zwischenwerteigenschaft erfüllen, wenn sie auch am Rand $0$ ist.
Man müsste aber noch überlegen, wie das Argument mit eventuell problematischen Rändern funktioniert.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 37
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
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Hallo, danke dir für deine Antwort ! Ich werde mir selbst noch Gedanken dazu machen :)
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