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Universität/Hochschule J Unterkörper mindestens Grad p
LukasNiessen Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 30.09.2019, Mitteilungen: 147, aus: Nordrhein-Westfalen, Bonn, Weststadt
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Themenstart: 2020-10-20
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Hallo,

in folgendem Beweis wird an einer Stelle eine Argumentation ausgelassen, scheinbar ist sie also trivial oder offensichtlich. Ich sehe das aber anders!
Zwar habe ich eine Argumentation gefunden, die den Schritt beweist, aber ich meinen Augen ist sie nicht trivial, daher frage ich mich, ob ich nicht eine triviale andere Argumentation übersehe und einen "steinigen Weg" gegangen bin.

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Es sei $L/K$ eine zyklische Galois-Erweiterung vom Grad $p$ in Charakteristik $p$.
Sei weiter $\varphi$ ein erzeugendes Element von $\text{Gal}(L/K)$.

Wir haben nun ein Element $a \in L$ konstruiert, für das gilt, dass $\varphi^0(a),...,\varphi^{p-1}(a)$ paarweise verschieden sind.

Gefolgert wird nun (ohne Argumentation), dass daher die Erweiterung $K(a)/K$ vom Grad $p$ oder größer ist (und daher also vom Grad $p$ ist).

---

Ich selbst würde es so argumentieren:
Offenbar ist $K(a)/K$ separabel und daher gilt für den Separabilitätsgrad

$[K(a)/K] = [K(a)/K]_s$.

Man kann aber die Automorphismen $\varphi^0,...,\varphi^{p-1}$ zu Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss  von $K$ fortsetzen und dann auf $K(a)$ einschränken, man benenne sie mit $f,...,f_p$.
Da nach unserer Konstruktion aber $\varphi^0(a),...,\varphi^{p-1}(a)$ paarweise verschieden sind, sind somit auch $f,...,f_p$ paarweise verschieden.
Daraus folgt $[K(a)/K]_s = [K(a)/K] \geq p$, was zu zeigen war.

---

Ist das so korrekt?

Wenn ja:
Wird obige Argumentation als offensichtlich angesehen oder übersehe ich einfach eine andere offensichtliche Argumentation?

Danke!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 04.10.2013, Mitteilungen: 1039
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20

Falls $[K(a):K] < p$, dann ist $[K(a):K] = 1$, daher $a \in K$ und somit $\varphi(a) = a$.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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LukasNiessen Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Ach klar! Es ist also in der Tat trivial, ich habe es nur übersehen. :D

Danke dir!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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