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 Differenzierbarkeit
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Hallo! Ich soll von folgender Funktion zeigen, dass sie beliebig oft differenzierbar ist:
$f(x)=\int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1+x^2t}dt$.
Um die Funktion zu vereinfachen, hab ich eine Hilfsfunktion $h(x)=\frac{1}{1+x^2}$ definiert. Dann ergibt sich die Funktion $f(x)=\int_0^\infty h(xt^{0.5})e^{-t}dt$
Wie zeige ich jetzt von dieser, dass sie differenzierbar ist? Wir haben das mit einem Integral noch nie gemacht.
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Darf der Satz von Lebesgue verwendet werden? Das wäre die natürlichste Variante. Formal ist der Beweis sehr einfach, aber du müsst irgendwie begründen, dass du den Grenzwert unter dem Integral nehmen darfst.
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Was genau du verwenden darfst, weiß ich leider nicht. Es wird aber alles erlaubt sein, was ihr bisher in der Vorlesung behandelt habt.
Der Term unter dem Integral ist für alle $x$ positiv. Das Integral konvergiert immer, da der Term zusätzlich noch kleiner/gleich $e^{-t}$ ist. Magst du den Term mal bitte nach $x$ ableiten?
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Also ich habe mir dieses Beispiel nochmal angeschaut mit euren Ansätzen. Im Prinzip muss ich ja zuerst zeigen, dass das Integral überhaupt definiert ist. Wie mache ich das am besten?
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Hallo,
sei $g_x(t)$ der Integrand. So genügt es zu zeigen, dass $g_x$ stetig ist und dass
\[
\int_0^{\infty} |g_x(t)|\,\mathrm dt<\infty
\]
gilt.
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Dass $g_x$ stetig ist, da kann ich ja argumentieren, dass es eine Komposition stetiger Funktionen ist, somit stetig. Aber wie zeige ich, dass der Integrand $< \infty$ ist? Durch Abschätzen?
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2020-10-29 16:13 - weini4820 in Beitrag No. 6 schreibt:
Aber wie zeige ich, dass der Integrand $< \infty$ ist? Durch Abschätzen? Ja sicher :D Es genügt nicht, dass der Intgrand kleiner als "unendlich" ist, sondern das Integral muss es sein.
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kann ich dann einfach sagen, dass $f(x) \leq Me^{-t}$ für eine Konstante $M$?
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| \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ich glaube, du denkst hier viel zu kompliziert.
Welchen Wert besitzt das Integral \(\int_0^{\infty}{e^{-t}} \on{dt}\)?
Und dann noch \(e^{-t}\) gegen \(\frac{e^{-t}}{1+x^2t}\) abschätzen (wobei der Integrationsbereich zu beachten ist) - fertig ist die Abschätzung.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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