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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Isomorphismen zwischen endlichen Körpern
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Universität/Hochschule Isomorphismen zwischen endlichen Körpern
mathaematician Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
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Themenstart: 2020-10-20

Hallo zusammen,

ich möchte Isomorphismen zwischen zwei endlichen Körpern bestimmen, das Setting ist etwas länger:


Sei \( q = p^k \) eine Primzahlpotenz, \( f(x) \) ein normiertes irreduzibles Polynom in \( \mathbb{F}_q[x] \) vom Grad \( n = 2^m \), \( l \mid n \) und \( g(y) \) ein norm. irred. Polynom in \( \mathbb{F}_q[y] \) vom Grad \( l \).

Die Restklassenringe \( K :=  \mathbb{F}_q[x] / (f(x)) \) und \( L_1 := \mathbb{F}_q[y] / (g(y)) \) sind bekanntermaßen Erweiterungskörper von \( \mathbb{F}_q \).

Sei weiterhin \( \omega \in L_1 \) s.d. \( z^{\frac{n}{l}} - \omega \) irreduzibel in \( L_1[z] \) ist. Der Restklassenring \( L_2 := L_1[z]/(z^{\frac{n}{l}} - \omega) \)  ist auch wieder ein Körper und da \( [L_2,\mathbb{F}_q] = [L_2,L_1] \cdot [L_1,\mathbb{F}_q] = \frac{n}{l} \cdot l = n \) ist \( K \cong L_2 \).

Zur Verdeutlichung nochmal als Körperdiagramm:

<math>
\begin{tikzcd}
{K:= k[x]/(f)} \arrow[r, "\sim", no head] & \mathbb{F}_{q^n} \arrow[r, "\sim", no head]                       & {L_2 := L_1[z]/(z^{\frac{n}{l}} - \omega)} \\
& \mathbb{F}_{q^l} \arrow[u, no head] \arrow[r, "\sim", no head]    & {L_1 := k[y]/(g)} \arrow[u, no head]       \\
& k := \mathbb{F}_q \arrow[u, no head] \arrow[luu, no head] \arrow[ru, no head] &
\end{tikzcd}
</math>

Ich möchte nun Isomorphimen \( \phi : K \to L_2 \) und \( \psi : L_2 \to K \) bestimmen.

Mein Gedanke war für \( \phi \): Ich faktorisiere \( f \) über \( L_2 \) und erhalte dann eine Nullstelle \( \alpha \), ein möglicher Isomorphismus wäre dann

<math>
\phi : K \to L_2,~ \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i \mapsto \sum_{i=0}^{n-1} a_i \alpha^i
</math>

Für die Rückrichtung hätte ich das ähnlich gemacht: \( g \) über \( K \) faktorisieren liefert eine Nullstelle \( \beta \), anschließend faktorisiere ich \( x^{\frac{n}{l}} - \omega(\beta) \) über \( K \) und erhalte eine Nullstelle \( \gamma \). (\( \omega \) ist ja an sich ein Polynom über \( \mathbb{F}_q \) in das man \( \beta \) einsetzen kann). Der Isomorphismus wäre dann:

<math>
\psi : L_2 \to K,~ \sum_{i=0}^{\frac{n}{l} - 1} \sum_{j=0}^{l-1} b_{i,j} y^j z^i \mapsto \sum_{i=0}^{\frac{n}{l} - 1} \sum_{j=0}^{l-1} b_{i,j} \beta^j \gamma^i
</math>

Ist das so weit alles richtig oder habe ich irgendwo einen Denkfehler? Oder kennt ihr vielleicht ganz andere (bessere) Methoden solche Isomorphismen zu bestimmen?



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.04.2016, Mitteilungen: 4978, aus: Berlin
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-23

Was du schreibst, ist schon richtig, aber auch nicht mehr als eine mehrfache Anwendung des allgemeinen "Fortsetzungslemmas" aus der Körpertheorie (siehe etwa hier im Abschnitt 'Die Methode').

Die Frage ist vielmehr, wie man diese Nullstellen konkret angeben kann (in den 'kanonischen' Basen, die durch Potenzen der Polynomvariablen gegeben sind). Dafür wird es allerdings keine allgemeine Antwort geben. Ich glaube auch nicht, dass die Reduktion auf den Fall $n = 2^m$ weiterhilft. In konkreten Beispielen kann man die Nullstellen aber angeben.

In welchem Kontext steht das Problem denn eigentlich?



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mathaematician Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

Hallo Triceratops,

erstmal Danke für deine Antwort! Das mit dem Fortstzungslemma ist ein guter Hinweis, ich schaue heute Abend mal in meinem Algebra Buch nach.

Die Forderung \( n = 2^m \) stammt von anderer Stelle und hat für diese Frage eigentlich keine Bedeutung. Das Problem stammt aus einem eher praktischen Kontext. Die Nullstellen der Polynome zu bestimmen ist also vermutlich kein wirkliches Problem, die meisten CAS können das ja mittlerweile. Mein Ziel ist es Arithmetik vom linken (s. Diagramm) Erweiterungskörper in den rechten Körperturm zu shiften, um dadurch eventuell Berechnungen zu beschleunigen.



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