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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Rechnung Basiswechsel quadratischer Form
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Universität/Hochschule J Rechnung Basiswechsel quadratischer Form
Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-20

Hi,

ich könnte Hilfe bei einer kurzen Rechnung in der linearen Algebra brauchen.

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Eine symmetrische Bilinearform $\langle -,- \rangle : V \times V \to k$ zu einer gegebenen Basis $(e_i)_{i=1, \dots, n}$ wird einer symmetrischen Matrix $A = (a_{ij})$ mit $a_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle$ zugeordnet.

Nun behauptet Serre in "A Course in Arithmetic" auf S. 27: Wenn wir die Basis $(e_i)$ durch eine invertierbare Matrix $X$ wechseln, dann ist die Matrix zur neuen Basis gegeben durch $XAX^T$.

Ich habe das nun aber zweimal nachgerechnet und erhalte immer $X^T A X$. Kommt ihr auch auf $X^T A X$?


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-21

Vielleicht habt ihr einfach eine unterschiedliche Vorstellung davon, was "durch eine Matrix wechseln" bedeutet: Betrachtet man die Basis $X e_i$, oder stellt man $e_i = X f_i$ dar und meint mit $f_i$ die andere Basis? Jedenfalls glaube ich nicht, dass du hier wirklich einen mathematischen Fehler bei deiner Rechnung gemacht hast, und dass du daher die Stelle einfach übergehen kannst.



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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21

So etwas habe ich auch vermutet, aber nicht genauer im Buch finden können, was gemeint ist. Aber ja, so werde ich es tun, bislang sollten die Argumente alle auch mit $X^T A X$ gehen.

Danke!


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