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Universität/Hochschule J Quadratische Ungleichung Beweisungs-Bsp
Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 19.03.2020, Mitteilungen: 368, aus: f(x=0)=1/x
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Themenstart: 2020-10-20

Hallo,
folgende Aufgabe:
Sei \(b_1=6\) und \(b_{n+1}=b_n^2-5b_n+5\) für \(n>1\). Nun soll gezeigt werden, indem man eine quadratische Ungleichung löst, dass \(b_{n+1}>b_n\) ist, wenn \(b_n\) groß genug ist. Wie groß muss \(b_n\) sein?

Mein Lösungsansatz wäre folgender:
Es gilt:
\[b_n^2-5b_n+5\geq b_n\] Das schreibe ich als:
\[b_n^2-6b_n+5\geq0\] Gelöst komme ich auf:
\[5\geq b_n\geq1\] Nur frag ich mich, was jetzt kommt. Ich meine, habe ich jetzt gezeigt, dass \(b_{n+1}>b_n\) gilt, für ein genügend großes \(b_n\)? Und falls ja, wäre dann die Antwort auf die Frage, wie groß \(b_n\) sein müsste, 1? Außerdem verunsichert mich, dass die Ungleichung ja nur bis \(b_n=5\) gilt. Laut der Frage "Wie groß muss \(b_n\) sein?" hört sich das aber eher so an, als würde es keine "obere Grenze" für \(b_n\) geben.

Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
PS: Die Aufgabe wäre damit noch nicht abgeschlossen, danach folgt noch eine Aufgabenstellung. Daher bitte nicht aus diesem Forum verschieben.

LG



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viertel Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 04.03.2003, Mitteilungen: 27587, aus: Hessen
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi Spedex

Deine Lösung stimmt nicht. $1$ und $5$ sind zwar die Grenzen, aber
Tip: zeichne mal die Funtion

Gruß vom ¼


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 04.10.2013, Mitteilungen: 1038
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-20

Deine Folgerung $b_n^2 - 6b_n +1 \geq 0 \implies 5 \geq b_n \geq 1$ ergibt keinen Sinn, setze z.B. mal $135901572095709$ ein.

Zeichne mal eine Skizze, um zu verstehen, was die Nullstellen einer quadratischen Gleichung bedeuten.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5266, aus: Rosenfeld, BW
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-20
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das ist aber keine Induktionsaufgabe, also wird es wohl oder übel wieder verschoben werden (bzw. ich habe es gerade verschoben).

Ich hatte dir auf diese Frage schonmal geantwortet, aber da wurde der Thread gesperrt.

Deine Lösungsmenge \(1\le b_n\le 5\) ist genau falsch herum. Lass mich raten: du hast die pq-Formel verwendet. 😉

Mach das mal per quadratischer Ergänzung:

\[\ba
b_n^2-6b_n+5&\ge 0\quad\iff\\
\\
b_n^2-6b_n+9&\ge 4\quad\iff\\
\\
.\\
.\\
.\\
\ea\]
Links steht jetzt ein Binom. Das bitte faktorisieren und dann die Wurzel ziehen. Die dabei notwendige Fallunterscheidung per Betragsklammern auf der linken Seite realisieren und dann für beide Fälle auflösen.

Und bitte: poste solche Aufgaben komplett. Es geht hier ja ganz offensichtlich um eine rekursiv definierte Folge und nicht primär um eine Ungleichung?


Gruß, Diophant


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Induktion' in Forum 'Analysis' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 19.03.2020, Mitteilungen: 368, aus: f(x=0)=1/x
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Also erstmal, folgt gleich ein Induktionsbeispiel, was noch zu dieser Aufgabe gehört. Daher habe ich das hier reingepostet. Jetzt wurde es verschoben, was mir persönlich allerdings ziemlich gleich ist, weil die Profis sowieso meistens Kategorie-überdeckend agieren.
Künftig werde ich direkt die komplette Angabe posten, angenommen es spielt auch alles eine Rolle.

Siegessicher habe ich die p-q-Formel verwendet. Denn ich kannte bereits den Trick mit dem "Aufzeichnen" / "Vorstellen". Man achtet einfach auf das aller erste Vorzeichen, das Vorzeichen von \(x^2\) sozusagen. Daran erkennt man die positive oder negative Krümmung, dann kann man auch direkt die Lösungsmenge bestimmen, selbst wenn es eine Ungleichung ist.
Dumm nur, wenn man dann trotzdem so blöd ist wie ich und es falsch rum macht. Aber eigentlich passt das, war halt ein Leichtigkeitsfehler von mir.
Also, es gilt:
\[b_n\geq5,b_n\le1\] Und \(b_n\) muss dann vermutlich mindestens einen Wert von 5 haben, nicht?

Wird die Tatsache, dass das ganze für \(b_n\le1\) auch gilt, in der Angabe ignoriert, oder wieso steht in der Angabe nicht: "Bis welchen \(b_n\) Wert bzw. ab welchem \(b_n\) Wert gilt \(b_{n+1}>b_n\)?"?

Ok, vermutlich haben sie es einfach ignoriert. Wieso denn auch nicht.



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5266, aus: Rosenfeld, BW
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-20
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-20 17:06 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Also erstmal, folgt gleich ein Induktionsbeispiel, was noch zu dieser Aufgabe gehört.

Ja. Aber es geht hier nicht um Induktion und nicht um Ungleichungen, sondern vermutlich darum, eine Folge zu untersuchen.

2020-10-20 17:06 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Daher habe ich das hier reingepostet. Jetzt wurde es verschoben, was mir persönlich allerdings ziemlich gleich ist, weil die Profis sowieso meistens Kategorie-überdeckend agieren.

Darum geht es ja gar nicht. Die Unterforen haben vorrangig den Sinn, dass man alte Threads mit der Forensuche gezielt aufsuchen kann, um sich bei ähnlichen Problemstellungen Hilfe zu holen, oder weil sie von dauerhaftem Interesse sind. Daher wird eben darauf geachtet, dass die Threads inhaltlich richtig eingeordnet sind.

2020-10-20 17:06 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Künftig werde ich direkt die komplette Angabe posten, angenommen es spielt auch alles eine Rolle.

Eine Rolle spielt das immer. Denn wenn man etwas weglässt, ist oft der Kontext nicht mehr nachvollziehbar. Demenstsprechend unpassend werden dann die Antworten...

2020-10-20 17:06 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Siegessicher habe ich die p-q-Formel verwendet. Denn ich kannte bereits den Trick mit dem "Aufzeichnen" / "Vorstellen". Man achtet einfach auf das aller erste Vorzeichen, das Vorzeichen von \(x^2\) sozusagen. Daran erkennt man die positive oder negative Krümmung, dann kann man auch direkt die Lösungsmenge bestimmen, selbst wenn es eine Ungleichung ist.
Dumm nur, wenn man dann trotzdem so blöd ist wie ich und es falsch rum macht. Aber eigentlich passt das, war halt ein Leichtigkeitsfehler von mir.
Also, es gilt:
\[b_n\geq5,b_n\le1\] Und \(b_n\) muss dann vermutlich mindestens einen Wert von 5 haben, nicht?

Wird die Tatsache, dass das ganze für \(b_n\le1\) auch gilt, in der Angabe ignoriert, oder wieso steht in der Angabe nicht: "Bis welchen \(b_n\) Wert bzw. ab welchem \(b_n\) Wert gilt \(b_{n+1}>b_n\)?"?

Nochmal zur pq-Formel: die ist für Ungleichungen einfach das falsche Werkzeug. Mache es wie oben gezeigt (bei quadratischen Ungleichungen) grundsätzlich mittels quadratischer Ergänzung. Dann bekommst du nebenbei ganz automatisch das bzw. die richtige(n) Lösungsintervall(e) heraus.

Wie oben schon gesagt: es geht hier um eine Zahlenfolge. Die ist so definiert, dass man einen neuen Wert \(b_{n+1}\) mit Hilfe seines Vorgängers \(b_n\) berechnet, so wie angegeben. Das nennt man eine Rekursion.

Mit dieser Ungleichung will man zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist. Da die Folge bei \(b_0=6\) startet, interessiert uns hier ausschließlich \(b_n\ge 5\). Damit ist bereits garantiert, dass die Ungleichung für die gesamte Folge gilt und diese damit eben monoton wächst.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 19.03.2020, Mitteilungen: 368, aus: f(x=0)=1/x
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Ok, mir sagt quadratische Ergänzung eigentlich nichts. Und wenn ein für mich altbekanntes System zumindest halbwegs funktioniert, zögere ich, etwas neues zu lernen. Aber das ist sicher der falsche Ansatz. Kann nicht Schaden, die Technik zu beherrschen.

Also, nun zur folgenden Aufgabenstellung, welche sowieso schon ein wenig vorweggenommen wurde.
Nämlich soll dann mittels vollständiger Induktion bewiesen werden, dass \(b_n\) immer groß genug ist.
Insgesamt hat man dann damit bewiesen, dass die Folge monoton wächst.
Ehrlich gesagt weiß ich nicht mal was "\(b_n\) immer groß genug" überhaupt bedeutet.

Kann mir das erstmal jemand erklären?

Setzte ich dann beim Induktionsanfang für \(b_n\) beispielsweise 5 ein.
Dann komme ich auf \(5^2-5\cdot5+5\geq5\). Damit wäre dann der Induktionsanfang erledigt.
Induktionsannahme ist dann \(b_n^2-5b_n+5\geq b_n\)?
LG



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-20
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-20 17:39 - Spedex in Beitrag No. 6 schreibt:
Ok, mir sagt quadratische Ergänzung eigentlich nichts.

Das solltest du in der Schule normalerweise im Zusammenhag mit der pq-Formel gelernt haben. Damit beweist man nämlich diese Formel.

2020-10-20 17:39 - Spedex in Beitrag No. 6 schreibt:
Also, nun zur folgenden Aufgabenstellung, welche sowieso schon ein wenig vorweggenommen wurde.
Nämlich soll dann mittels vollständiger Induktion bewiesen werden, dass \(b_n\) immer groß genug ist.
Insgesamt hat man dann damit bewiesen, dass die Folge monoton wächst.
Ehrlich gesagt weiß ich nicht mal was "\(b_n\) immer groß genug" überhaupt bedeutet.

Kann mir das erstmal jemand erklären?

Induktionsanfang (n=1): \(b_1=6>5\).

Induktionsannahme: \(b_n\ge 5\)

Induktionsschluss: \(b_n\ge 5\Rightarrow b_{n+1}\ge 5\). Das haben wir nachgerechnet, indem wir die Ungleichung gelöst haben.

Hier nochmal der Weg mittels quadratischer Ergänzung, als 'Schablone' sozusagen:

\[\ba
b_n^2-6b_n+5&\ge 0\quad\iff\\
\\
b_n^2-6b_n+9&\ge 4\quad\iff\\
\\
\left(b_n-3\right)^2&\ge 4\quad\iff\\
\\
\left|b_n-3\right|&\ge 2
\ea\]
Jetzt macht man eine Fallunterscheidung, je nachdem, ob der Inhalt der Betragsklammer negativ ist oder nicht. Uns interessiert hier der nichtnegative Fall, in dem wir die Betragsklammern bekanntlich weglassen können. Wir erhalten:

\[b_n-3\ge 2\quad\iff\quad b_n\ge 5\]
Reche den negativen Fall selbst nochmal nach, der liefert dann \(b_n\le 1\).

Deine Aufgaben sind, sagen wir mal, recht ungewöhnlich. Um Missverständnisse auszuschließen wäre es daher auch gut, wenn du die Aufgaben nicht nur komplett sondern auch im Originalwortlaut posten könntest. Dann hier (wie schon in anderen Aufgaben von dir) kommt man nicht unbedingt von selbst auf die Idee, dass es um vollständige Induktion gehen könnte.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Also, erstmal die Angabe nachträglich.
Ich tippe sie jetzt nicht ab, sondern füge sie als Bild ein. Grundsätzlich habe ich das immer vermieden, damit niemand denkt ich wäre einfach zu faul ein Beispiel zu lösen.
Die Angabe:

Ehrlich gesagt kommt es mir so vor, als würde es kaum einen Unterschied machen, ob ich es etwas umschreibe oder direkt die Angabe wiedergebe.
Wie auch immer.
Nun bezüglich der Aufgabe:
Du sagst ja, dass wir den Induktionsschritt \(b_{n+1}\geq5\) durch Lösen der Ungleichung bewiesen haben. Bei der Ungleichung haben wir bewiesen, dass \(b_{n+1}>b_n\) und das \(b_n\geq5\), nicht? Daher haben wir auch bewiesen, dass \(b_{n+1}\geq5\) ist. Verstehe ich das richtig?

Die Fragen in der Aufgabenstellung hören sich oftmals extrem unverständlich (für mich!) an. Und am Ende ist es eh nichts schlimmes.

Noch was zum Quadratischen Ergänzen: Name ist Programm. Ich hatte damit echt wenig zu tun bis jetzt, aber wenn es sich anbietet zu verwenden, werde ich das künftig auf jeden Fall machen, denke ich. Es ist wirklich ein simples Prinzip und geht schnell.




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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-20
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-20 18:29 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
Also, erstmal die Angabe nachträglich...
Ehrlich gesagt kommt es mir so vor, als würde es kaum einen Unterschied machen, ob ich es etwas umschreibe oder direkt die Angabe wiedergebe.
Wie auch immer.

Es ist halt auch ein wenig die Macht der Gewohnheit (von uns aus). Der eine oder die andere machen das hier schon ziemlich lang, die meisten haben einen akademischen Hintergrund und sind in dieser Hinsicht "up to date". Das gilt für mich zwar nicht, aber Erfahrung mit solchen Aufgaben aus dem Bereich Studiumsbeginn habe ich auch über mehr als 20 Jahre gesammelt. Und da erwartet man dann eben bei bestimmten Formulierungen ganz bestimmte Problemstellungen. In dieser Hinsicht haben deine Aufgaben zumindest mich schon desöfteren aufs Glatteis geführt. Es ging aber nach meinem Empfinden nicht nur mir so.

2020-10-20 18:29 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
Nun bezüglich der Aufgabe:
Du sagst ja, dass wir den Induktionsschritt \(b_{n+1}\geq5\) durch Lösen der Ungleichung bewiesen haben. Bei der Ungleichung haben wir bewiesen, dass \(b_{n+1}>b_n\) und das \(b_n\geq5\), nicht? Daher haben wir auch bewiesen, dass \(b_{n+1}\geq5\) ist. Verstehe ich das richtig?

Fast. \(b_n\ge 5\) nehmen wir hier formal zunächst an (da es um einen Induktionsbeweis geht). Da wir durch die Lösung der Ungleichung für diesen Fall eben \(b_{n+1}\ge b_n\) gezeigt haben, haben wir hier ganz klassisch die Induktionsannahme verwendet, um den Induktionsschluss zu zeigen.

Im Prinzip macht man das auch, wenn man die Ungleichung löst und daraus direkt auf die Monotonie schließt. Vielleicht geht es deinem Prof hier auch darum, aufzuzeigen, wo überall wir stillschweigend induktiv schließen und das nicht extra erwähnen, da es offensichtlich bzw. "trivial" ist.

2020-10-20 18:29 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
Noch was zum Quadratischen Ergänzen: Name ist Programm. Ich hatte damit echt wenig zu tun bis jetzt, aber wenn es sich anbietet zu verwenden, werde ich das künftig auf jeden Fall machen, denke ich. Es ist wirklich ein simples Prinzip und geht schnell.

Ja, das ist wichtig. Denn an der Uni würde ich sagen, wird dieses Verfahren in Klausuren dann schon erwartet. Und selbst wenn nicht: wenn man es drauf hat spart man damit ja auch Zeit ein.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Passt.

Vielen Dank für die Hilfe

Liebe Grüße
Spedex



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