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  Beweis (1^p+2^p+...+n^p) / n^(p+1) korrekt? Stolz-Cesaro |
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tobias150801
Aktiv 
Dabei seit: 13.04.2020
Mitteilungen: 22
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Hallo,
wollte fragen ob mein Beweis korrekt ist, da das am Ende doch etwas schwammig wirkt..
Folgendes ist zu zeigen:
\[\dfrac{1^p+2^p+...+n^p}{n^{p+1}}\to\dfrac{1}{p+1}
\]
Beweis:
Sei
\((a_n):=1^p+2^p+...+n^p \)
und
\((b_n):=n^{p+1}\)
Es gilt
\[
\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}
=\dfrac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}
=\dfrac{(n+1)^p}{(p+1)n^p+C_1\cdot n^{p-1}+...}
\]
Hier wurde die Binomialentwicklung genutzt mit k=p+1. (Hätte das aufgeschrieben, aber die Latexumbegung erlaubt mir kein /binom)
Dies hat das gleiche Konvergenzverhalten wie
\[
\dfrac{(n+1)^p}{(p+1)n^p}
=\biggl(\dfrac{n+1}{n}\biggr)^p \cdot \dfrac{1}{p+1}
\to \dfrac{1}{p+1}
\]
für n gegen unendlich. Mit Stolz-Cesaro folgt dann, dass auch die Ursprungsfolge a_n / b_n gegen den selben Grenzwert geht.
Die Frage bei mir stellt sich jetzt nur, wie ich das angeben kann, dass ich die restlichen Terme mit niedriger Potenz "rausnehmen" kann ohne das Konvergenzverhalten zu ändern und wie man das aufschreibt. Stimmt das erstmal alles überhaupt?
Viele Grüße und einen schönen Abend,
Tobias
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Kuestenkind
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20
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Huhu tobias150801,
ja - das stimmt. Du kannst z.B. über Reihenentwicklung gehen:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+n-n\left(\frac{n}{n+1}\right)^k}=\frac{1}{1+k+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)}\)
Die Reihenentwicklung für den Nenner kannst du z.B. leicht sehen, wenn du \(n=\frac{1}{z}\) setzt und um \(z=0\) entwickelst. Es ist dann für \(z\to 0\):
\(\displaystyle 1+\frac{1}{z}-\frac{1}{z}\left(\frac{1}{1+z}\right)^k=1+\frac{1}{z}-\frac{1}{z}\left(1-z+z^2-z^3+\ldots\right)^k=1+\frac{1}{z}-\frac{1}{z}\left(1-\binom{k}{1}z+\binom{k+1}{2}z^2-\binom{k+2}{3}z^3+\ldots\right)=1+k+\mathcal{O}(z)\)
Gruß,
Küstenkind
PS: Alternativ kannst du das auch über eine Riemann-Summe lösen. Ich habe zudem (aus Gewohnheit) \(p\) durch \(k\) ersetzt.
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tobias150801
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Mitteilungen: 22
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20
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Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
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