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Universität/Hochschule Induktion-Bsp Folge Definiton
Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-20

Hey, folgende Angabe:

Bei a) ist mir folgende Lösung eingefallen, bei welcher ich mir aber nicht sicher bin, ob diese auch gültig ist. Wirkt mir zu einfach.
Induktionsanfang:
\[5\geq1\] Induktionsannahme:
\[c_n\geq1\] Induktionsschritt:
\[c_{n+1}\geq1\] \[\sqrt{2\cdot c_n-1}\geq1\] Aus der Annahme wissen wir, dass \(c_n\) mindestens 1 ist, da \(c_n\geq1\).
Somit kann man sagen:
\[\sqrt{2\cdot c_n-1}\geq\sqrt{2\cdot1-1}\geq1\] Ende

Bei b) hingegen bin ich mir nicht sicher, wie beziehungsweise was ich da machen soll. Ich kann aus der Fragenstellung nicht herauslesen, ob ich da jetzt das Induktionsprinzip verwenden soll, oder nicht.
Grundsätzlich gilt:
\[c_{n+1}\le c_n\] Sprich:
\[\sqrt{2\cdot c_n-1}\le c_n\]
Und nun?

LG



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20

Hallo,

in beiden Fällen solltest du die Ungleichungen zunächst quadrieren.

Bei der Beschränktheit bist du dann so gut wie fertig. Der Induktionsanfang ist hier richtig.

Bei der Monotonie braucht es wieder einen Blick für Binome. Quadratische Ergänzung braucht es aber nicht, das ist die gute Nachricht. Deine Abschätzung bringt dir hier jedoch nichts.

Für den Induktionsanfang bei der Monotonie solltest du noch das zweite Folgenglied ausrechnen.

Auch hier werde ich wieder nach Analysis verschieben und bitte dafür um Verständnis.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Induktion' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]



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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Bezüglich der Auswahl der richtigen Kategorie bei einem neuen Thema: Hierbei tu ich mir oftmals recht schwer, eine geeignete Kategorie selbstständig auszuwählen. Viele der Begriffe sagen mir oft nichts, was jedoch nicht heißt, dass mein Thema da jetzt nicht rein fällt.
Gut, dieses Thema ist jetzt eine Ausnahme, "Folgen und Reihen" sowie "Analysis" sagt mir natürlich schon etwas.

Zur Beschränktheit.
Ich soll also den Term quadrieren, sagst du?
Meinst du so?:
\[\sqrt{2\cdot c_n-1}\geq1\] \[2\cdot c_n-1\geq1\] \[2\cdot c_n\geq2\] Da wieder gilt, dass \(c_n\) mindestens 1 sein muss (aus der Annahme), gilt:
\[2\cdot1\geq2\] Aber das ist ja schlussendlich ähnlich wie das was ich gemacht habe.

Wie hast du das gemeint?



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-20
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-20 19:51 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Zur Beschränktheit.
Ich soll also den Term quadrieren, sagst du?
Meinst du so?:
\[\sqrt{2\cdot c_n-1}\geq1\] \[2\cdot c_n-1\geq1\] \[2\cdot c_n\geq2\] Da wieder gilt, dass \(c_n\) mindestens 1 sein muss (aus der Annahme), gilt:
\[2\cdot1\geq2\]

Nein, es folgt direkt \(c_n\ge 1\). Und das gilt nach Annahme.

2020-10-20 19:51 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber das ist ja schlussendlich ähnlich wie das was ich gemacht habe.

Ja, ich hatte das vorhin falsch verstanden. Du wendest da ja auch \(c_n\ge 1\) an. Dann sollte es nur so aussehen:

\[\sqrt{2c_n-1}\ge\sqrt{2\cdot 1-1}=1\]
Also mit einem Gleichheitszeichen am Ende.

Das hatte ich wie gesagt falsch verstanden. Es ist also hier beides möglich: dein Weg, und meiner auch.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Hallo, bei der Monotonie komme ich auf folgende Lösung:
\[c_{n+1}\le c_n\] \[\sqrt{2\cdot c_n-1}\le c_n\] \[2\cdot c_n-1\le c_n^2\] \[c_n^2-2\cdot c_n+1\geq0\] \[\left(c_n-1\right)^2\geq0\] Und ein Ausdruck quadriert ist immer positiv.

Passt das so?

LG



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-20
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-20 20:26 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo, bei der Monotonie komme ich auf folgende Lösung:
\[c_{n+1}\le c_n\] \[\sqrt{2\cdot c_n-1}\le c_n\] \[2\cdot c_n-1\le c_n^2\] \[c_n^2-2\cdot c_n+1\geq0\] \[\left(c_n-1\right)^2\geq0\] Und ein Ausdruck quadriert ist immer positiv.

Passt das so?

Perfekt. 👍


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-20

Ja, gut. 👍

Du solltest aber dir angewöhnen, Implikations- und Äquivalenzpfeile zu benutzen.

2020-10-20 19:30 - Spedex im Themenstart schreibt:
Ich kann aus der Fragenstellung nicht herauslesen, ob ich da jetzt das Induktionsprinzip verwenden soll, oder nicht.

So betreibt man keine Mathematik, du sollst selber herausfinden, wie du einen Beweis führst. Wenn du dir nicht sicher bist, ob Induktion funktioniert, dann probiere es doch einfach mal aus. Wenn es funktioniert, dann ist es cool und wenn nicht, lernst du, wo die Grenzen von Induktion liegen.

Weitere Frage: Ist dir klar, in welchem Schritt du (a) verwendest?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Vielen Dank.

LG


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Was meinst du mit:
2020-10-20 20:35 - Kezer in Beitrag No. 6 schreibt:
So betreibt man keine Mathematik, du sollst selber herausfinden, wie du einen Beweis führst.
Sicher, das hätte ich selber ausprobieren können. Generell wäre es mir lieber, am besten alles selber machen zu können. Aber vor allen bei Beweisen passiert es mir oft, dass ich einfach irgendwann anstehe und nicht weiter weiß. Und dann starr ich auf mein Blatt - und starr und und starr - und denke dabei natürlich auch, aber wenn wir nicht einfällt nach einer gewissen Zeit schreibe ich halt hier etwas.

Oder meintest du mit dem Satz einfach nur, dass ich es wenigstens bis dahin ausprobieren hätte können, wo ich dann anstehe?

Was meinst du mit (a)?
LG



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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-20

Du warst die nicht sicher, ob Induktion funktioniert. Die einzige Möglichkeit das herauszufinden, ist es auszuprobieren.

Starren bringt übrigens nichts. Schreibe etwas auf, egal wie dumm es erscheinen mag. Schreibe die Definition auf, schreibe das Beweisziel auf, schreibe eine triviale Umformung auf, etc. etc. Manchmal/Oft liefern das eine neue Idee.

Schreiben hilft viel öfter als man es erwartet, doch viele Anfänger machen den Fehler, nur auf das Blatt zu starren.

Das ist eigentlich der gleiche Tipp wie der obere: probiere einfach etwas aus. Das gilt nicht nur in der Mathematik, aufprobieren hilft immer, wenn man Probleme lösen möchte.

2020-10-20 20:41 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
Was meinst du mit (a)?

Teilaufgabe (a).


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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Ähm, nicht wirklich.



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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-21

Quadrieren ist hier eine Äquivalenzumformung von Ungleichungen, weil beide Seiten positiv sind (Zeile 2 und 3).


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