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Universität/Hochschule J Funktionale Ableitung und Prinzip der stationären Wirkung
6Incognito9 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Themenstart: 2020-10-21

Hallo, ich habe Schwierigkeiten in der Herleitung der stationaeren Wirkung. Um die Herzuleiten muss ich erst mal die funktional Ableitung der kinetischen Energie



durchführen.

Und die Definition der funktionalen Ableitung ist im Buch gegeben als



Die Lösung ist



Meine Rechnung dazu ist allerdings

\[ \frac{ \delta T[x]}{ \delta x(t)} =  \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} [\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t') + \epsilon \delta(t-t'))^2 dt' - \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t'))^2 ] =  \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} [\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} ((\dot x(t'))^2 + 2 \dot x(t') \epsilon \delta(t-t') + O(\epsilon^2)) dt' - \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t'))^2 ] = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} 2 \dot x(t') \delta(t-t') dt' = \frac{m}{\tau} \dot x(t)\]
Wo mache ein Fehler?

LG und vielen Dank













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zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-21

2020-10-21 12:49 - 6Incognito9 im Themenstart schreibt:
\[\int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t') + \epsilon \delta(t-t'))^2 dt'\]
Wo mache ein Fehler?

Du müsstest $x(t')$ durch $x(t')+\epsilon\delta(t-t')$ und damit $\dot x(t')$ durch $\dot x(t')-\epsilon\delta'(t-t')$ ersetzen.

Du ersetzt aber $\dot x(t')$ durch $\dot x(t')+\epsilon\delta(t-t')$.

--zippy



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6Incognito9 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21

2020-10-21 13:10 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-10-21 12:49 - 6Incognito9 im Themenstart schreibt:
\[\int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t') + \epsilon \delta(t-t'))^2 dt'\]
Wo mache ein Fehler?

Du müsstest $x(t')$ durch $x(t')+\epsilon\delta(t-t')$ und damit $\dot x(t')$ durch $\dot x(t')-\epsilon\delta'(t-t')$ ersetzen.

Du ersetzt aber $\dot x(t')$ durch $\dot x(t')+\epsilon\delta(t-t')$.

--zippy

Oh jaaa, ich sehe. Danke!



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