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Analysis » Grenzwerte » Logarithmus Basis n
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Kein bestimmter Bereich J Logarithmus Basis n
haegar90 Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-21

Hallo,

wie kann man zeigen dass dieser Ausdruck konvergent oder divergent ist ?

$$\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{n}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{3}\right)$$


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Gruß haegar



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Squire Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-21

Servus haegar90!

Nach den Logarithmengesetzen gilt

$\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{n}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{3}\right)=\lim_{n \to \infty} \log_n\left(n^3\right)+\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{1}{6n^2}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3}\right)$

(wenn beide Grenzwerte existieren)

Kommst du damit weiter?

Grüße Squire



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haegar90 Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21

2020-10-21 13:25 - Squire in Beitrag No. 1 schreibt:
Servus haegar90!

Nach den Logarithmengesetzen gilt

$\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{n}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{3}\right)=\lim_{n \to \infty} \log_n\left(n^3\right)+\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{1}{6n^2}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3}\right)$

(wenn beide Grenzwerte existieren)

Kommst du damit weiter?

Grüße Squire


Hallo Squire,

ja, ich danke und verstanden, hoffe dass es so stimmt:

$\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{n}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{3}\right)=\lim_{n \to \infty} \log_n\left(n^3\cdot\left(\frac{1}{6n^2}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3}\right)\right)=3+0=3$






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Gruß haegar



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Squire Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-21

Das Ergebnis habe ich auch.

Grüße Squire



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haegar90 Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21

$\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{n}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{3}\right)=\lim_{n \to \infty} \log_n\left(n^4\cdot\left(\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n}\right)\right)=4+0=4$

Was ist hier falsch ?

Edit: Verstanden ist mit $\log_n(0)$ nicht definiert.



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Gruß haegar



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Squire Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-21

Zu #4: nicht ganz. Wenn du möchtest, zeige:

$\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n}\right)=-1$

Grüße Squire



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haegar90 Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21

🙃 Ja, ok, stimmt.

$\lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n}\right)= \lim_{n \to \infty} \log_n\left(\frac{1}{n}\left(\frac{1}{6n^2}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3}\right)\right)=0-1+0=-1$


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Gruß haegar



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haegar90 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
haegar90 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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