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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Aussagen über die Duale einer linearen Abbidlung
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Universität/Hochschule Aussagen über die Duale einer linearen Abbidlung
physico
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-21


Hallo werter Matheplanet!

Ich grüble mittlerweile schon länger an einem Beispiel, stecke aber leider fest, daher hoffe ich, dass jemand von Euch den ein oder anderen Tipp für mich hat! :)

Ich erkläre einmal kurz worum es geht.

Betrachten wir zwei (endlichdimensionale) Hilberträume \(A,B\) und eine eine linare Abbildung \(\mathcal{E}: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}\).
Weiters sei die zu \(\mathcal{E}\) duale Abbildung durch
\[\forall \rho \in \mathcal{L}(A)~ \forall \sigma \in \mathcal{L}(B): ~ Tr[\sigma^* \mathcal{E}(\rho)] = [(\mathcal{E}^*(\sigma))^* \rho)]\] definiert.

Ich soll nun vier "genau dann wenn" Aussagen zeigen. Ich schreibe einmal die ersten drei an, die vierte ist etwas komplizierter und ich denke ich muss zuerst die ersten drei verstehen, bevor ich mich an die vierte Aussage heranwage:

(i) \( \forall \rho \in \mathcal{L}(A): ~ Tr[\mathcal{E}(\rho)] = Tr[\rho] \) genau dann, wenn \(\mathcal{E}^*(I_B) = I_A \)
(ii)  \( \forall \rho \in \mathcal{L}(A): ~ Tr[\mathcal{E}(\rho)] \leq Tr[\rho] \)  genau dann, wenn \(\mathcal{E}^*(I_B) \leq I_A \)
Dieses Ungleichheitszeichen ist zu verstehen als \(I_A -\mathcal{E}^*(I_B)  \) ist positiv semi-definit.
(iii) \(\mathcal{E}\) ist positiv semi-definit genau dann, wenn \(\mathcal{E}^*\) positiv semi-definit ist


Die \(" \Leftarrow "\) Richtung der Aussage (i) erhält man durch Einsetzen in die Definition von "dual", wobei man \(\rho = I_B\) setzt. Bereits bei der Rückrichtung habe ich zumindest Zweifel, denn die Definition von "dual" gibt mir immer nur eine Aussage über die Spur. Ich setze nämlich (um einen Ausdruck zu bekommen, der der gewünschten Schlussfolgerung zumindest ähnlich sieht) \(\sigma = I_B\) in die Definition der dualen Abbildung ein und nutze die Voraussetzung, dass \(\mathcal{E}\) die Spur nicht ändert, auf der linken Seite ein und erhalte
\[\forall \rho \in\mathcal{L}(A): ~ Tr[\rho] = Tr[(\mathcal{E}^*(I_B))^* \rho]\] Kann ich daraus sofort schließen \(\mathcal{E}^*(I_B))^* = I_A\)?
Wenn ja, wie kann ich das begründen? In meiner Vorstellung könnte es ja z.B. auch eine Abbildung sein, die die Reihenfolge der Diagonalelemente ändert, die Spur jedoch unverändert lässt.


Ich habe mir (natürlich) auch zu (ii) und (iii) Gedanken gemacht bevor ich hier die Frage stelle, war dort jedoch weniger erfolgreich als bei (i).
 
Bei (ii) habe ich das Problem, dass ich alle Aussagen immer nur unter der Spur machen kann (da die Spur in der Definition von "dual" omnipräsent ist), jedoch keine Verbindung zu positiv Semidefinitheit machen kann (bzw. zum Vorzeichen der Eigenwerte).

Noch weniger gelingt mir bei (iii), da auch dort die Aussagen unter der Spur nicht mit meiner Herangehensweise über die Definition der dualen Abbildung zusammenpassen will.


Ich bin für jeden Hinweis und jeden Tipp dankbar! :)


Grüße

physico



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