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Universität/Hochschule J Galois-Gruppe bestimmen
LukasNiessen Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-23
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Hallo!

Es geht nochmal darum eine Galois-Gruppe zu bestimmen, und zwar folgenden Polynoms:

$X^8 - 2 \in \IQ[X]$.

---

Der Zerfällungskörper ist $\IQ(\sqrt[8]{2}, i)$ und die Erweiterung hat den Grad 16.

Es gilt:

$\text{Gal}(\IQ(\sqrt[8]{2}, i) / \IQ) \subset S_8$.

---

Ich komme hier aber nicht weiter, wie kann ich nun die 16 Automorphismen der Galois-Gruppe bestimmen?

Danke!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄
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ollie3 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 21.02.2016, Mitteilungen: 56
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-23

Hallo,
ich glaube nicht, das das so richtig
ist. Müsste nicht die prim.8. Einheitswuzel
mit im zerfällunskörper sein?



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ollie3 Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 21.02.2016, Mitteilungen: 56
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-23

Sorry,
das war ein Denkfehler, der zerfällungskörper
war doch richtig...



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.04.2016, Mitteilungen: 4989, aus: Berlin
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-23

Ich habe einen Artikel geschrieben, wie man solche einfachen Galoisgruppen berechnet: article.php?sid=1779



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.04.2016, Mitteilungen: 4989, aus: Berlin
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-23

@ollie3: Das stimmt schon, aber die primitive 8. Einheitswurzel ist $$\sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} = \frac{1+i}{\sqrt[8]{2}^4},$$sodass man genauso gut $i$ als Erzeuger nehmen kann.



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LukasNiessen Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26

Perfekt, danke euch!




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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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