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 Beweis für ein glattes Vektorfeld |
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Math_user
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Guten Abend
Ich beschäftige mich aktuell mit der Differentialtopologie und konkreter mit Vektorfeld. Nun möchte ich zeige, dass $X=z^k$ im komplexen Raum ein glattes Vektorfeld darstellt.
Wir haben ein glattes Vektorfeld über $M$ definiert als eine Funktion $X:M \to \Bbb R^n$ s.d. $X(p)\in T_pM \; \forall p \in M$, wobei $T_pM$ hier den Tangentialraum meint.
Ich sehe aber nicht, wie ich dies am besten zeigen soll.
Für jede Hilfe bin ich dankbar und wünsche einen guten Start ins Wochende
Viele Grüsse,
Math_user
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Triceratops
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-23
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Was meinst du genau mit dem komplexen Raum? Ist damit die reelle Mannigfaltigkeit $\IR^2$ gemeint, deren zugrunde liegende Menge hier mit $\IC$ identifiziert wird? Dann ist $z \mapsto z^k$ ja einfach eine Polynomfunktion in jeder Variablen. Zum Beispiel ist $(a,b)^2 = (a^2-b^2,2ab)$ für $k=2$. Polynomfunktionen sind glatt. Die Glattheit hast du in deiner Definition übrigens vergessen, ebenso die Annahme, dass $M$ eine Untermannigfaltigkeit von $\IR^n$ sein soll. Dass die Werte hier in den Tangentialräumen enthalten sind, ist trivial, weil in dem Beispiel (wenn es wie oben gemeint ist) $M=\IR^n$ ist. Also ein glattes Vektorfeld auf $\IR^n$ ist einfach eine glatte Abbildung $\IR^n \to \IR^n$.
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Math_user
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24
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Vielen Dank für deine Antwort. Ich versuche gerade folgendes aus dem Buch von Milnor nachzuvollziehen:
Du hast natürlich absolut recht, die Glattheit und das es eine (Unter)Mannigfaltigkeit ist, habe ich vergessen. Aber weshalb ist der Tangentialraum trivial? Dies sehe ich noch nicht ein.
Kannst du mir vielleicht auch gerade weiterhelfen, weshalb wir dann mit diesem Vektorfeld ein isolierte Nullstelle mit Index $k$ erhalten? Ich blicke noch nicht so durch in diesem Konzept.
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-24
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Schau dir die Definition an und folgere
2020-10-23 22:30 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Also ein glattes Vektorfeld auf $\IR^n$ ist einfach eine glatte Abbildung $\IR^n \to \IR^n$.
Zur anderen Frage: Wie ist der Index definiert?
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Math_user
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24
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Ich stehe immernoch auf den Schlauch: Sei $M=\Bbb R^n$, die Identitätsfunktion $X: \Bbb R^n \to \Bbb R^n$ ist offensichtlich glatt. Jedoch ist ja $T_pM \subset \Bbb R^n$ also sehe ich noch nicht wieso gilt $X(p) \in T_pM \subset \Bbb R^n$. Könnte ja auch sein, dass es nicht darin ist oder?
Zur zweiten Frage: Wir haben den Index definiert als den Grad der Abbildung:$$ v(x):=\frac{X(x)}{\Vert X(x) \Vert}$$
Dabei ist $X$ ein Vektorfeld.
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-24
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Du solltest die Grundlagen zu Tangentialräumen wiederholen. Es gilt $T_p \IR^n = \IR^n$.
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