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Universität/Hochschule Eigenwerte asymmetrischer nxn Matrizen
Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-24


Hallo,

ich sitze gerade an meiner Bachelorarbeit und verzweifle bisschen mit der Eigenwertberechnung. Ich verwende Mathematica und müsste dringend diverse Eigenwerte von verschiedenen Matrizen berechnen. Leider bekomme ich meistens nur die "ROOT"-Ausdrücke in Mathematica, womit ich überhaupt nichts anfangen kann. Beispielsweise die folgende Matrix:

\(
A=\left(
\begin{array}{cccc}
a&ib&-t&ir&0&0 \\
-ib&-a&ir&t&0&0 \\
-t&-ir&a&ib&-t&ir \\
-ir&t&-ib&-a&ir&t \\
0&0&-t&-ir&a&ib \\
0&0&-ir&t&-ib&-a \\
\end{array}
\right)
\)

Hier bekomme ich nur Root-Ausdrücke. Kennt Jemand ein Verfahren, das ich relativ simple in Mathematica anwenden kann um die Eigenwerte numerisch zu erhalten? Bin am verzweifeln hier...

VG
Physics



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-24


Hallo.

Ich verstehe nicht genau was du wirklich suchst.

Vielleicht hilft schon folgendes:
mathematica
(* In *)
sol=Eigenvalues[Table[1/(i + j + 1), {i, 3}, {j, 3}]]
Eigenvalues[Table[N[1/(i + j + 1)], {i, 3}, {j, 3}]]
sol //N
 
(* Out *)
 
{Root[-1 + 4755 #1 - 255600 #1^2 + 378000 #1^3 &, 3], 
 Root[-1 + 4755 #1 - 255600 #1^2 + 378000 #1^3 &, 2], 
 Root[-1 + 4755 #1 - 255600 #1^2 + 378000 #1^3 &, 1]}
0.657051, 0.0189263, 0.000212737}
0.657051, 0.0189263, 0.000212737}
 

Gibt man mma exakte Werte,dann wird mma probieren das Problem exakt zu lösen.

Gibt man mma numerische Werte,dann wird mma probieren das Problem numerisch zu lösen.

Mit Rootobjekten kann man rechnen.

Gruss endy







-----------------
Dean Koontz : Zwielicht

Unzählige verschlungene Nachtpfade zweigen vom Zwielicht ab.
Etwas bewegt sich inmitten der Nacht,das nicht gut und nicht richtig ist.

The Book of Counted Sorrows.




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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24


Servus endy,

im Prinzip sieht die grundlegende Matrixstruktur, die ich betrachte wie folgt aus:

\(
\left(
\begin{array}{cc}
M+B[2-cos(x)] & +i\alpha sin(x) & -\frac{B}{2} & i\frac{\alpha}{2}\\
-i\alpha sin(x) & -M-B[2-cos(x)] & i\frac{\alpha}{2} & \frac{B}{2}\\
-\frac{B}{2} & -i\frac{\alpha}{2} & M+B[2-cos(x)] & i\alpha sin(x) \\
-i\frac{\alpha}{2} & \frac{B}{2} & -i\alpha sin(x) & -M-B[2-cos(x)]

\end{array}
\right)

\)

Wie könnte ich da jetzt beispielsweise die Eigenwerte berechnen für die Parameter \(M=-3\),\(B=1\) sowie \(\alpha = 1\)? Hierbei entspricht i der imaginären Einheit.

Im Prinzip geben die Eigenwerte dieser Matrix sogenannte Bänder. Deswegen kann ich jetzt die cosinus bzw. sinus-Funktionen noch nicht explizit mit Werten füttern. Ist es möglich die Eigenwerte in Abhängigkeit von cos(x) und sin(x) zu bestimmen?

Falls nein: Gibt es einen Programmcode, der die Werte x von \(0\) bis \(2\pi \) durchläuft in sagen wir Schritten von \(\frac{\pi}{100}\) und der dann automatisch pro Schritt die Eigenwerte berechnet und dann alle Eigenwerte pro Schritt so zusammenfasst so dass ich das Ergebnis dann über \(0\) bis \(2\pi \) plotten kann? Ich bin programmiertechnisch nämlich mehr als ungeschickt um es mal so auszudrücken...

VG
Physics



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-24


Ich habe keine Ahnung davon - aber gibt es was über Eigenwerte von Blockmatrizen?

Viele Grüße

Wally



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-24


Probier mal den Befehl ToRadicals. Der sollte aus den Root Ausdrücken Wurzeln machen.



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-25


Hallo.

Also mma kann die Eigenwerte allgemein berechnen für die Matrix aus  Beitrag Nummer 2:
mathematica
Clear @ "Global`*"
 
mat[m_, b_, a_, 
  x_] := {{m + b Abs[2 - Cos[x]], I*a Sin[x], -b/2, I*a/2},
  {-I*a Sin[x], -m - b Abs[2 - Cos[x]], I*a/2, b/2},
  {-b/2, -I*a/2, m + b Abs[2 - Cos[x]], I*a*Sin[x]},
  {-I*a/2, b/2, -I*a Sin[x], -m - b*Abs[2 - Cos[x]]}}
h[x_] := mat[-3, 1, 1, x]
h @ x
sol = Eigenvalues[h[x]] // FullSimplify
solallgemein = Eigenvalues  @ mat[m, b, a, x]
solallgemein // FullSimplify
rules = {m -> -3, b -> 1, a -> 1};
test = (sol == solallgemein /. rules);
test // Simplify

Gruss endy





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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25


Hey endy,


das ist ja mal der Hammer. Genau sowas habe ich mir vorgestellt! Vielen Dank erstmal dafür an der Stelle. Die Funktion Abs[...] hast du nur verwendet weil du dachtest, dass ich den Absolutbetrag mit den eckigen Klammern meine, oder hat das eine andere Funktionalität?

Im Prinzip müssten sich damit doch auch größere Matrizen berechnen lassen, die denselben aufbau haben oder? Hab es mal für eine 6x6 Matrix probiert:


\(
\left(
\begin{array}{cccc}
m+b(2-cos(x)) & iasin(x) & -b/2 & ia/2 & 0 & 0\\
-iasin(x) & -m-b(2-cos(x)) & ia/2 & b/2& 0 & 0\\
-b/2 & -ia/2 & m+b(2-cos(x)) & ia sin(x) & -b/2 & ia/2  \\
-ia/2 & b/2 & -ia sin(x) & -m-b(2-cos(x))) & ia/2 & b/2 \\
0 & 0 & -b/2 & -I*a/2 & m+b(2-cos(x)) & iasin(x) \\
0 & 0 & -ia/2 & b/2 & -ia sin(x) & -m-b(2-cos(x))

\end{array}
\right)

\)

Für diese Matrix  bekomme ich mit deiner Methode wieder die Root-Ausdrücke.

Im Prinzip bräuchte ich genau 2 Matrizen:

Einmal für eine (möglichst große) ungerade Anzahl an Spalten/Zeilen, beispielsweise 29x29 und eine Matrix für eine gerade Anzahl an Spalten/Zeilen, beispielsweise 28x28. Für diese beiden Matrizen bräuchte ich dann unter den bereits angesprochenen Paramtern m,b und a die Eigenwerte. Meinst du das würde irgendwie hinhauen?

So oder so schon mal vielen Dank, bin dem Ziel schon mal einen großen Schritt näher!

VG
Physics



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