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Strukturen und Algebra » Polynome » Primelement in K[X,Y]
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Universität/Hochschule Primelement in K[X,Y]
Mathsman Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Themenstart: 2020-10-24

Hallo ich überlege gerade wieder an einer Aufgabe und hoffe, dass mir jemand ein wenig Input liefern kann.
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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-24

Hi,
erstmal: Weißt du warum \(K[X,Y]\) faktoriell ist (sonst ergibt die Aufgabe ja keinen Sinn)?
Die Aufgabe kann man allgemeiner fassen:
Sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann ist auch $R[X]$ faktoriell (Lemma von Gauß).
Wenn nun $a\in R$ ein Primelement ist (äquivalent dazu, dass $a$ irreduzibel ist), dann ist $a$ auch in $R[X]$ ein Primelement bzw. irreduzibel.
Das kannst du ganz leicht nachrechnen.




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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-24

2020-10-24 22:30 - Red_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Wenn nun $a\in R$ ein Primelement ist (äquivalent dazu, dass $a$ irreduzibel ist), dann ist $a$ auch in $R[X]$ ein Primelement bzw. irreduzibel.
Das kannst du ganz leicht nachrechnen.

Bevor man hier mit Elementen losrechnet: $R[X]/\langle a \rangle = (R/\langle a \rangle)[X]$ ist ein Integritätsring, fertig.



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.09.2016, Mitteilungen: 823, aus: Erde
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-25

Schöner Beweis.



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