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Mathematik » Stochastik und Statistik » Poisson-Verteilung mit Zusatzbedingung
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Universität/Hochschule Poisson-Verteilung mit Zusatzbedingung
Clvrhammer Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Themenstart: 2020-10-25

Hallo,

Ich habe eine Aufgabe zu meinem Statistik Kurs erhalten und bin mir mit meiner Lösung nicht ganz sicher.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

"""
Ein beliebiger Poissonprozess wird beobachtet. Ein Ereignis habe dabei die mittlere Rate $\lambda$. Ein Ereignis wird jedoch nur mit der Wahrscheinlichkeit $p$ vom Messgerät registriert. Wie ist die Anzahl der registrierten/verlorenen Ereignisse pro Zeiteinheit verteilt?
"""

Meine Idee wäre, dass ein Poissonprozess mit Rate $\lambda$, bei dem ein Ereignis nur mit Wahrscheinlichkeit $p$ registriert wird, im Grund dasselbe ist, wie ein Poissonprozess mit einer um den Anteil $p$ reduzierten mittleren Rate $\lambda_{eff} = p \cdot \lambda$. Die Ersetzung $\lambda \rightarrow \lambda_{eff}$ würde also die Verteilung der registrierten Ereignisse liefern.


Richtig oder Blödsinn?

Beste Grüße,

Clvrhammer



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zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-25

2020-10-25 16:32 - Clvrhammer im Themenstart schreibt:
Die Ersetzung $\lambda \rightarrow \lambda_{eff}$ würde also die Verteilung der registrierten Ereignisse liefern.

Richtig oder Blödsinn?

Richtig. Eine Begründung fehlt aber noch.



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Clvrhammer Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

Hm, ist die Begründung, dass die Rate $\lambda$ im Mittel um den Faktor $p$ reduziert wird (weil ja nur der Anteil $p$ der Ereignisse registriert wird), nicht bereits eine ausreichende Begründung? Wenn nicht, was wäre ein (mathematisch rigoroser) Ansatz dies zu zeigen?



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zippy Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-25

2020-10-25 17:06 - Clvrhammer in Beitrag No. 2 schreibt:
Hm, ist die Begründung, dass die Rate $\lambda$ im Mittel um den Faktor $p$ reduziert wird (weil ja nur der Anteil $p$ der Ereignisse registriert wird), nicht bereits eine ausreichende Begründung?

Anschaulich ist das völlig klar. Aber ob das als Begründung ausreicht, hängt von der Art deiner Vorlesung ab.

Eigentlich müsste man ja damit anfangen zu zeigen, dass die registrierten Ereignisse überhaupt einen Poisson-Prozess bilden.



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