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Universität/Hochschule J Zeige folgende Borelmengen
Quotenbanane Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-25

Hallo!

Man siehe sich die reellen Zahlen $x\in ]0,1[$ und deren Dezimaldarstellung $0.x_1,x_2,...$ an. (Zahlen, die auf 9-periodisch enden sind nicht erlaubt)

Zu zeigen: Folgende Mengen sind Borel-Mengen...

a) Alle Zahlen, die mind. eine Ziffer 2 enthalten
b) Alle Zahlen, in denen die Ziffer 2 unendlich oft vorkommt.

Wenn ich das richtig sehe, dann soll ich versuchen, die Mengen mithilfe von offenen Mengen zu konstruieren und zeigen, dass dieses Mengensystem dann eine $\sigma$-Algebra ist.

Bei a) habe ich mir überlegt, dass ich die Menge mittels Intervallschachtelung bilden kann.
Sprich:

Sei $A_1 = ]0.2-\frac{1}{10}, 0.2+\frac{1}{10}[$, $A_1 \supseteq A_2 = ]0.22-\frac{1}{100},0.22+\frac{1}{100}[$ bis hin zu $A_1 \supseteq .... \supseteq A_n = ]0.2...22-\frac{1}{10^n},0.2....22+\frac{1}{10^n}[$

Die Menge wird gegen 0.2-periodisch konvergieren. Natürlich sind das nicht alle Zahlen mit der Ziffer 2, aber alle anderen, wo die zwei erst an der Stelle n vorkommt, kann man wie folgt ausdrücken...

$B_n = [0.x_1,x_2,...x_n,2-\frac{1}{10^{n+1}}; \, \, 0.x_1,x_2,...x_n,2+\frac{1}{10^{n+1}}[$

Die Zusammenfassung dieser Mengen nenne ich jetzt mal $\tau$

Jetzt bin ich mir aber leider nicht mehr sicher, wie ich weiter vorgehen soll. Ich müsste ja eigentlich zeigen, dass $\tau$ einen topologischen Raum $(]0,1[, \tau)$ und eine $\sigma$-Algebra bildet.

Dass der Durchschnitt (endlich) und die Vereinigung von Elementen von $\tau$ offen sind, ist klar. Aber wo sehe ich, dass die leere Menge und die Grundmenge ebenso in $\tau$ liegt?
Das ist ja eigentlich nicht der Fall...

Oder soll ich bei $A_0 = ]0,0+\frac{1}{10^0}[ = ]0,1[$ anfangen? Aber dann sind doch Zahlen dabei, deren Ziffer nicht 2 ist.

Hat jemand Tipps?



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sonnenschein96 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26

Hallo Quotenbanane,

wenn ich Deine Aufgabe richtig verstehe, sollst Du weder zeigen, dass etwas eine Topologie ist noch dass etwas eine \(\sigma\)-Algebra ist. Daher kann ich Deinen Lösungsansatz leider auch nicht nachvollziehen.

Nennen wir Deine Mengen aus Teil a) und b) mal \(A\) und \(B\), also \(A:=\{x\in(0,1)\,|\,\exists i\in\mathbb{N}\text{ mit }x_i=2\}\) und \(B:=\{x\in(0,1)\,|\,x_i=2\text{ für unendlich viele }i\in\mathbb{N}\}\). Dann sollst Du zeigen, dass \(A\) und \(B\) Elemente der Borel'schen \(\sigma\)-Algebra \(\mathcal{B}\) sind.

Du könntest z.B. so anfangen: Für \(i\in\mathbb{N}\) betrachte die Menge \(A_i:=\{x\in(0,1)\,|\,x_i=2\}\), also die Menge der Zahlen, deren \(i\)-te Ziffer \(2\) ist. Dann gilt
\[A_i=\bigcup_{(x_1,\ldots,x_{i-1})\in\{0,\ldots,9\}^{i-1}}[0.x_1\ldots x_{i-1}2,0.x_1\ldots x_{i-1}3)\] und damit \(A_i\in\mathcal{B}\). Dies liegt daran, dass Intervalle in der Borel'schen \(\sigma\)-Algebra liegen (also \([0.x_1\ldots x_{i-1}2,0.x_1\ldots x_{i-1}3)\in\mathcal{B}\)) und damit auch abzählbare Vereinigungen davon (per Definition einer \(\sigma\)-Algebra).

Nun kannst Du \(A\) und \(B\) durch die Mengen \(A_i\) mittels abzählbaren Vereinigungen/Schnitten ausdrücken und damit gilt dann auch \(A,B\in\mathcal{B}\).



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Quotenbanane Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26

Hallo!

Ja, das macht mehr Sinn. Ich hatte nicht gewusst, dass mit Borelmengen Mengen einer existierenden Borel-Algebra gemeint sind.

Und diese existierende Borel-Algebra ist jetzt die Sigma-Algebra aller offenen Teilmengen von $\mathbb{R}$, oder?

Schön geschrieben: $\mathcal{B} = \sigma(\{U \,| \, U \subseteq \mathbb{R} \, \, \text{offen}\})$

Okay, dann nehme ich die von dir netterweise bereits schön definierten Mengen A und B her.

Es ist ja so, dass in $\mathcal{B}$ alle offenen, halboffenen und geschlossenen Intervalle von $\mathbb{R}$ befinden, weil Ich ja einerseits weiß, dass ich in $\mathcal{B}$ mittels abzählbarem Durchschnitt (weil $\sigma$-Algebra) $\cap_{n\in \mathbb{N}} ]a-\frac{1}{n},b[ = [a,b[$ bilden kann.

Komplement und Vereinigung geben mir dann die restlichen abgeschlossenen und halboffenen Intervalle.

Somit ist die Darstellung...

$$A_i = \bigcup_{\substack{a_j \in \{1,...,9\} \\ j<i}} [0.x_1...x_{i-1}2, 0.x_1...x_{i-1}3[$$
wie du gesagt hast in $\mathcal{B}$

Ist der nächste Schritt wirklich so einfach, wie er aussieht?

Weil $\mathcal{B}$ eine $\sigma$-Algebra und $A_i \in \mathcal{B}$ gilt...

$$ A = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \Rightarrow A \in \mathcal{B}$$
Zwecks der Menge B hätte ich mir überlegt, dass ich diese folgendermaßen ausdrücken kann...

$$B_i = \bigcap_{j>i} A_j = \{ x \in ]0,1[ \, | x_j = 2 \, \forall j > i\}$$
Die Vereinigung $B = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i$ liegt dann wieder in $\mathcal{B}$

Sehe ich das richtig?




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sonnenschein96 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-26

2020-10-26 18:37 - Quotenbanane in Beitrag No. 2 schreibt:
$$A_i = \bigcup_{\substack{a_j \in \{1,...,9\} \\ j<i}} [0.x_1...x_{i-1}2, 0.x_1...x_{i-1}3[$$
Die Notation ist aber nicht wirklich korrekt. Insbesondere wolltest Du wohl \(x_j\) statt \(a_j\) schreiben und es sollte \(\{0,\ldots,9\}\) statt \(\{1,\ldots,9\}\) heißen.


2020-10-26 18:37 - Quotenbanane in Beitrag No. 2 schreibt:
Ist der nächste Schritt wirklich so einfach, wie er aussieht?

Weil $\mathcal{B}$ eine $\sigma$-Algebra und $A_i \in \mathcal{B}$ gilt...

$$ A = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \Rightarrow A \in \mathcal{B}$$

Ja :)


2020-10-26 18:37 - Quotenbanane in Beitrag No. 2 schreibt:
Die Vereinigung $B = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i$ liegt dann wieder in $\mathcal{B}$

Sehe ich das richtig?
Leider nein. Es gilt ja \(x\in\bigcup_{i\in\mathbb{N}}B_i\) genau dann, wenn \(x\in B_i=\bigcap_{j>i}A_j\) für ein \(i\in\mathbb{N}\). Die ist äquivalent dazu, dass es ein \(i\in\mathbb{N}\) gibt mit \(x_j=2\) für alle \(j>i\). Dies bedeutet aber, dass \(x_j=2\) für fast alle \(j\in\mathbb{N}\). Dies ist eine stärkere Bedingung als \(x_j=2\) für unendlich viele \(j\in\mathbb{N}\).

Im Wesentlichen hast Du nur Vereinigungen und Schnitte vertauscht. Siehe z.B. und



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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-02

Hi, sorry für die späte Nachricht!

Du hast absolut recht, insb. der Link über Lim inf bzw. Lim sup der Mengenfolgen hat mir die Augen geöffnet, da habe ich wohl zu viel gefordert.

Wenn ich dann Schnitt und Vereinigung vertausche, dann hätte ich stehen...

$$B = \bigcap_{i\in \mathbb{N}} \, \Bigl ( \, \bigcup_{j>i} \, \{x\in ]0.1[ \mid \, x_j = 2 \, \forall j>i\} \Bigr )$$
Da bei der Sigma-Algebra Schnitt bzw. Vereinigung (Äquivalent, weil Komplemente ebenso drin sein müssen) inkludiert sind, muss auch $B\in \mathcal{B}$ sein.

Sollte jetzt eigentlich stimmen. ^^

Ich bedanke mich für deine tolle Hilfe 😄



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Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-02

2020-11-02 16:07 - Quotenbanane in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn ich dann Schnitt und Vereinigung vertausche, dann hätte ich stehen...

$$B = \bigcap_{i\in \mathbb{N}} \, \Bigl ( \, \bigcup_{j>i} \, \{x\in ]0.1[ \mid \, x_j = 2 \, \forall j>i\} \Bigr )$$
Naja fast :) Es müsste aber
$$B = \bigcap_{i\in \mathbb{N}} \, \Bigl ( \, \bigcup_{j>i} \, \{x\in ]0,1[ \mid \, x_j = 2\} \Bigr )$$ heißen. Das "\(\forall j>i\)" hat da nichts zu suchen :P


2020-11-02 16:07 - Quotenbanane in Beitrag No. 4 schreibt:
Da bei der Sigma-Algebra Schnitt bzw. Vereinigung (Äquivalent, weil Komplemente ebenso drin sein müssen) inkludiert sind, muss auch $B\in \mathcal{B}$ sein.
Ja das stimmt, wobei noch wichtig ist, dass es abzählbare Schnitte/Vereinigungen sind. Für beliebige Schnitte/Vereinigungen gilt dies nicht.



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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-05

Alles klar! Danke! 😄



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