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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Überblick über K-Homomorphismen von einfachen Erweiterungen
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Universität/Hochschule J Überblick über K-Homomorphismen von einfachen Erweiterungen
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-25


Hi,

wenn Triceratops schon ständig MP Artikeln verlinkt, wird man manchmal auch neugierig. ;-)

Eben habe ich Triceratops' Artikel Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen überflogen. Dieser hat mich an folgenden schönen Satz aus der Körpertheorie erinnert:

Satz. Sei \(f \in M[T]\) das Minimalpolynom von \(a\) über \(M\). Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der \(K\)-Homomorphismen \(\sigma : M(a) \to L\) und der Menge der Paare \((\tau,c)\), wobei \(\tau : M \to L\) ein \(K\)-Homomorphismus ist und \(c \in L\) eine Nullstelle von \(f^{\tau} \in L[T]\) ist.

Die Bijektion ist charakterisiert durch \(c=\sigma(a)\) und \(\tau=\sigma|_M\).

Nun ist die Frage: Ist das eigentlich "nur" eine Bijektion oder kann man kategorientheoretisch bisschen mehr über die Bijektion sagen?
Willkommen wären auch andere Verallgemeinerungen bzw. ähnliche Aussagen in anderen Settings.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-25


Eine ähnliche Aussage gilt ja wortwörtlich für kommutative Ringe $R$ und beliebige Polynome $f \in R[X]$. Es ist dann im Wesentlichen die Aussage, dass die kommutative $R$-Algebra $R[X] / \langle f \rangle$ die Präsentation $\langle X : f(X)=0 \rangle_{\mathsf{CAlg}_R}$ besitzt. Sie löst also das universelle Problem, eine Nullstelle von $f$ zu finden. Anders formuliert: sie stellt den Funktor $\mathsf{CAlg}_R \to \mathsf{Set}$ dar, der eine kommutative $R$-Algebra $A$ auf die Menge der Nullstellen von $f$ in $A$ abbildet. Das ist jetzt nicht weiter spektakulär und allgemein bekannt.

Die Verallgemeinerung auf andere algebraische Kategorien $S(\tau)$ wäre: Man gehe von zwei Elementen $f,g \in \langle X \rangle_{\tau}$ aus (der freien Struktur auf einem Erzeuger $X$). Dann ist $\langle X : f(X)=g(X) \rangle_{\tau}$ der Quotient von $\langle X \rangle_{\tau}$ modulo der von $(f,g)$ erzeugten Kongruenzrelation. Beispiele dafür sind die zyklische Gruppe $\langle X : X^n = 1 \rangle_{\mathsf{Grp}} = C_n$ und das Monoid $\langle X : X^2 = X^3 \rangle_{\mathsf{Mon}}$ (mit den Elementen $1,X,X^2$).

Mehr kann ich im Moment nicht sagen, weil die Frage so allgemein ist. Kannst du vielleicht noch eine konkretere Frage stellen?

PS: Ich verlinke die Artikel übrigens gerade so oft, weil sie genau dafür geschrieben worden sind: um sich wiederholende Antworten abzukürzen.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26


Das ist eigentlich schon eine gute Antwort, danke.

Mir war nur spontan die Frage in den Sinn gekommen, ob diese Bijektion vielleicht spezieller ist, etwa eine Äquivalenz zwischen irgendwelchen speziellen Kategorien. Doch letzteres erscheint unwahrscheinlich.


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-26


Es gibt tatsächlich eine Möglichkeit. Ringe bzw. $R$-Algebren kann man ja als $R$-lineare Kategorien ansehen (mit einem Objekt). Dann ist $\mathrm{Hom}_R(A,B)$ die Funktorkategorie. Sie ist ebenfalls $R$-linear. Konkret ist ein Morphismus $f \to g$ zwischen zwei Algebra-Homomorphismen $f,g : A \to B$ ein Element $b \in B$ mit der Eigenschaft $b f(a) = g(a) b$ für alle $a \in A$. Für $A=R[X]$ bekommt man eine (weitere) Kategorienstruktur auf $B$: Die Objekte sind die Elemente von $B$, und ein Morphismus $f \to g$ zwischen $f,g \in B$ ist ein Element $b \in B$ mit $bf = gb$. Jeder Homomorphismus $A \to A'$ ist ein Funktor und induziert daher einen Funktor $\mathrm{Hom}_R(A',B) \to \mathrm{Hom}_R(A,B)$. Wendet man das auf $R[X] \to R[X]/\langle f \rangle$ an, so folgt, dass sich die Bijektion $\mathrm{Hom}_R(R[X]/\langle f \rangle,B) \cong \{b \in B : f(b)=0\}$ zu einem Isomorphismus von Kategorien ausdehnt (die rechte Seite ist hier eine volle Unterkategorie von $B$). Aber ob das interessant ist, sei mal dahingestellt.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-29


Das ist sehr cool, danke!


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